Enunciado

Em cada um dos problemas 28 a 33, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico

16 x 2 + y 2 + 64 x - 4 y + 52 = 0

Passo 1

Vamos começar achando a equação reduzida, juntando os x ' s e os y ' s

16 x 2 + 64 x + y 2 - 4 y = - 52

Show agora podemos visualizar melhor a sacada que vamos precisar!

16 x 2 + 4 x + y 2 - 4 y = 311

O que vamos fazer agora é completar quadrados, lembrando que:

x + 2 2 = x 2 + 4 x + 4

y - 2 2 = y 2 - 4 y + 4

Então vamos acrescentar esse 4 e o 4 dentro dos parênteses, mas quando fazemos isso temos que compensar do outro lado, então vamos ter que acrescentar 16 * 4 e 1 * 4 , no total temos que acrescentar 68 do outro lado da equação, então ficamos com

16 x 2 + 4 x + 4 + y 2 - 4 y + 4 = - 52 + 68

16 x + 2 2 + y - 2 2 = 16

Como a nossa equação tem que ser do tipo

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Vamos dividir os dois lados por 16

16 x + 2 2 16 + y - 2 2 16 = 1

x + 2 2 1 + y - 2 2 16 = 1

Podemos ver então que nossa equação é da forma:

x - x 0 2 b 2 + y - y 0 2 a 2 = 1

E o eixo maior ta em y , ou seja nossa elipse é “em pé”

Então, podemos ver que

C e n t r o = ( - 2 , 2 )

a 2 = 16

b 2 = 1

E nossa equação reduzida fica:

x 2 ' 1 + y 2 ' 16 = 1

Passo 2

Com a 2 e b 2 podemos encontrar quem é nossa distancia focal c , fazendo

a 2 = b 2 + c 2

c 2 = 16 - 1

c = 15

Passo 3

Para acharmos os vértices, basta somar ± a na coordenada y e

A 1 = x 0 , y 0 + a

A 1 = - 2 , 6

A 2 = x 0 , y 0 - a

A 2 = ( - 2 , - 2 )

Passo 4

Achando c , podemos achar o foco, que vai ser no eixo y , já que o eixo maior é nele, somando a coordenada y do centro com ± c , para achar os dois focos, ou seja,

F 1 = ( x 0 , y 0 + c )

F 1 = - 2 , 2 + 15

F 2 = x 0 , y 0 - c

F 2 = ( - 2 , 2 - 15 )

Passo 5

Agora para achar a excentricidade é só lembrar da formulinha

e = c a

e = 15 4

Passo 6

Juntando esses resultados que achamos podemos desenhar a nossa elipse, que fica assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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