Enunciado

Em cada um dos problemas 28 a 33, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico

25 x 2 + 16 y 2 + 50 x + 64 y - 311 = 0

Passo 1

Vamos começar achando a equação reduzida, juntando os x ' s e os y ' s

25 x 2 + 50 x + 16 y 2 + 64 y = 311

Show agora podemos visualizar melhor a sacada que vamos precisar!

25 x 2 + 2 x + 16 y 2 + 4 y = 311

O que vamos fazer agora é completar quadrados, lembrando que:

x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1

y + 2 2 = y 2 + 4 y + 4

Então vamos acrescentar esse 2 e o 4 dentro dos parênteses, mas quando fazemos isso temos que compensar do outro lado, então vamos ter que acrescentar 25 * 1 e 16 * 4 , no total temos que acrescentar 89do outro lado da equação, então ficamos com

25 x 2 + 2 x + 1 + 16 y 2 + 4 y + 4 = 311 + 89

25 x + 1 2 + 16 y + 2 2 = 400

Como a nossa equação tem que ser do tipo

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Vamos dividir os dois lados por 400

25 x + 1 2 400 + 16 y + 2 2 400 = 1

x + 1 2 16 + y + 2 2 25 = 1

Podemos ver então que nossa equação é da forma:

x - x 0 2 b 2 + y - y 0 2 a 2 = 1

E o eixo maior ta em y , ou seja nossa elipse é “em pé”

Então, podemos ver que

C e n t r o = ( - 1 , - 2 )

a 2 = 25

b 2 = 16

E nossa equação reduzida fica:

x 2 ' 16 + y 2 ' 25 = 1

Passo 2

Com a 2 e b 2 podemos encontrar quem é nossa distancia focal c , fazendo

a 2 = b 2 + c 2

c 2 = 25 - 16

c = 3

Passo 3

Para acharmos os vértices, basta somar ± a na coordenada y e

A 1 = x 0 , y 0 + a

A 1 = - 1,3

A 2 = x 0 , y 0 - a

A 2 = ( - 1 , - 7 )

Passo 4

Achando c , podemos achar o foco, que vai ser no eixo y , já que o eixo maior é nele, somando a coordenada y do centro com ± c , para achar os dois focos, ou seja,

F 1 = ( x 0 , y 0 + c )

F 1 = - 1,1

F 2 = x 0 , y 0 - c

F 2 = ( - 1 , - 5 )

Passo 5

Agora para achar a excentricidade é só lembrar da formulinha

e = c a

e = 3 5

Passo 6

Juntando esses resultados que achamos podemos desenhar a nossa elipse, que fica assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos. 9 x 2 + 4 y 2 - 18 x + 16 y - 11 = 0
Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos. 5 x 2 + 3 y 2 - 3 y - 1 2 = 0
Determine se o gráfico da equação dada é uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio. 2 x 2 + 3 y 2 + 8 x - 6 y + 20 = 0
Determine se o gráfico da equação dada é uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio. 4 x 2 + y 2 - 8 x + 2 y + 5 = 0
Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.Vértices em ( 0 ,5 ) e ( 0 ,- 5 ) e passa pelo ponto 2 , - 5 5 3 .