Enunciado

Em cada um dos problemas 28 a 33, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico

4 x 2 + 9 y 2 - 24 x + 18 y + 9 = 0

Passo 1

Vamos começar achando a equação reduzida, juntando os x ' s e os y ' s

4 x 2 - 24 x + 9 y 2 + 18 y = - 9

Show agora podemos visualizar melhor a sacada que vamos precisar!

4 x 2 - 6 x + 9 y 2 + 2 y = - 9

O que vamos fazer agora é completar quadrados, lembrando que:

x - 3 2 = x 2 - 6 x + 9

y + 1 2 = y 2 + 2 y + 1

Então vamos acrescentar esse 2 e o 4 dentro dos parênteses, mas quando fazemos isso temos que compensar do outro lado, então vamos ter que acrescentar 4 * 9 e 9 * 1 , no total temos que acrescentar 45 do outro lado da equação, então ficamos com

4 x 2 - 6 x + 9 + 9 y 2 + 2 y + 1 = - 9 + 45

4 x - 3 2 + 9 y + 1 2 = 36

Como a nossa equação tem que ser do tipo

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Vamos dividir os dois lados por 36

4 x - 3 2 36 + 9 y + 1 2 36 = 1

x - 3 2 9 + y + 1 2 4 = 1

Podemos ver então que nossa equação reduzida é da forma:

Então, podemos ver que

C e n t r o = ( 3 , - 1 )

a 2 = 9

b 2 = 4

E nossa equação reduzida fica:

x 2 ' 9 + y 2 ' 4 = 1

Passo 2

Com a 2 e b 2 podemos encontrar quem é nossa distancia focal c , fazendo

a 2 = b 2 + c 2

c 2 = 9 - 4

c = 5

Passo 3

Para acharmos os vértices, basta somar ± a na coordenada x e

A 1 = x 0 + a , y 0

A 1 = 6 , - 1

A 2 = x 0 - a , y 0

A 2 = ( 0 , - 1 )

Passo 4

Achando c , podemos achar o foco, que vai ser no eixo x, já que o eixo maior é nele, somando a coordenada x do centro com ± c , para achar os dois focos, ou seja,

F 1 = ( x 0 + c , y 0 )

F 1 = 3 + 5 , - 1

F 2 = x 0 - c , y 0

F 2 = ( 3 - 5 , - 1 )

Passo 5

Agora para achar a excentricidade é só lembrar da formulinha

e = c a

e = 5 3

Passo 6

Juntando esses resultados que achamos podemos desenhar a nossa elipse, que fica assim:

Resposta

x 2 ' 9 + y 2 ' 4 = 1

C 3 , - 1

A 1 6 , - 1   A 2 ( 0 , - 1 )

F 1 3 + 5 , - 1 F 2 3 - 5 , - 1

e = 5 3

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Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.Vértices em ( - 2 ,0 ) e ( 2 ,0 ) e passa pelo ponto - 1 , 3 2 .
Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.Focos em ( 0 ,3 ) e ( 0 ,- 3 ) e a constante mencionada na definição 10.2.1 é 6 3 .
Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.Vértices em - 5 2 , 0 e 5 2 , 0 e um foco em 3 2 , 0 .
Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.Centro em ( 4 ,- 2 ) , um vértice em ( 9 ,- 2 ) , e um foco em ( 0 ,- 2 ).
Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.Um foco em 2 ,- 3 , um vértice em ( 2 ,4 ) , e centro sobre o eixo x .