Enunciado

Calcular a distância entre os planos paralelos

pi_1 : x + y + z = 4

pi_2 : 2 x + 2 y + 2 z = 5

Passo 1

Para encontrarmos a distância entre dois planos paralelos, vamos escolher um ponto de pi_1 e calcular sua distância até o plano pi_2 .

Para encontrarmos um ponto de pi_1 , vamos arbitrar valores para x e y e aí ver quanto vale z nessa situação.

Se x = 1 e y = 0 por exemplo (mas você pode arbitrar os valores que quiser, no final a distância vai dar a mesma hehe), aí temos:

x + y + z = 4

1 + 0 + z = 4

z = 3

Então, o ponto P = (x , y , z) = ( 1 , 0 , 3 ) pertence ao plano pi_1 e vamos calcular sua distância até pi_2 :)

Passo 2

Sabemos que a distância entre um ponto A = ( x , y , z ) e um plano pi ' : a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d (A , pi ') = (|a x + b y + c z + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2))

No nosso caso, temos o ponto P ( 1 , 0 , 3 ) e o plano pi_2 : 2 x + 2 y + 2 z - 5 = 0 , logo, a distância entre eles vai ser

d (P , pi) = (|2.1 + 2.0 + 2.3 - 5|)/(sqrt(2^2 + 2^2 + 2^2))

d (P , pi) = (3)/(sqrt(1 2))

Racionalizando:

d (P , pi) = (3 sqrt(12))/(12)

d (P , pi) = (sqrt(12))/(4)

Fatorando sqrt(12) , temos que sqrt(12) = 2 sqrt(3) :

d (P , pi) = (2 sqrt(3))/(4)

d (P , pi) = (sqrt(3))/(2)

Resposta

(sqrt(3))/(2)

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