Enunciado

Calcular a distância entre os planos paralelos:

a) π 1 : 2 x + 2 y + 2 z - 5 = 0 e π 2 : x + y + z - 3 = 0

Passo 1

Vamos começar encontrando um ponto de um dos planos pode ser? Porque aí depois é só calcularmos a distância entre esse ponto e o outro plano hehe :)

Vamos escolher um ponto do plano π 1 pode ser? Para isso, vamos arbitrar valores para x e y , e aí encontramos o valor de z correspondente ;)

Nesse plano, se tivermos x = 0 e y = 1 , por exemplo, aí teremos

2.0 + 2.1 + 2 z - 5 = 0

2 z = 5 - 2

z = 3 2

Então o ponto 0 ,   1 , 3 2 pertence a esse plano :P Agora é só calcularmos a distância desse ponto até o plano π 2 .

Passo 2

A distância entre um ponto P ' = ( x ,   y ,   z ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d P ' , π ' = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

No nosso caso, temos P = 0 ,   1 , 3 2 e o plano π 2 : x + y + z - 3 = 0

Então temos o seguinte

d π 1 ,   π 2 = d P , π 2 = 1.0 + 1.1 + 1.3 2 - 3 1 2 + 1 2 + 1 2

d π 1 ,   π 2 = 2 2 + 3 2 - 6 2 3

d π 1 ,   π 2 = 1 2 3

Então

d π 1 ,   π 2 = 1 2 3

d π 1 ,   π 2 = 3 6

Resposta

d π 1 ,   π 2 = 3 6

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b) Determine o volume do tetraedro determinado pelo plano π , os planos coordenados xz e yz e o plano z = 2.
c) Determine a área da face do tetraedro contida no plano π .