Enunciado

Determinar a distância da reta

r : {[[x = 3],[y = 4]])

c) ao eixo dos z

Passo 1

Vamos começar encontrando uma equação vetorial pra nossa reta. Temos que x = 3 e y = 4 , então:

(x , y , z) = ( 3 , 4 , z )

r : X = (3 , 4 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Beleza, essa reta passa pelo ponto ( 3 , 4 , 0 ) e tem vetor diretor ( 0 , 0 , 1 ) .

Passo 2

O eixo dos z é uma reta que passa pela origem e tem vetor diretor ( 0 , 0 , 1 ) , pois está na direção de z hehe então ela tem equação

s : X = (0 , 0 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Opa, repara só: nossa reta r e a reta s têm o mesmo vetor diretor ( 0 , 0 , 1 ) , então são paralelas, olha:

Agora é só encontrarmos a distância entre as duas retas paralelas :)

Passo 3

Para encontrar a distância entre duas retas paralelas, vamos encontrar um ponto P de r , depois um ponto genérico Q de s .

Temos que um ponto P de r é P = ( 3 , 4 , 0 ) , e um ponto genérico Q de s , de acordo com sua equação, é

Q = ( 0 , 0 , t )

Sabendo que vec P Q = Q - P = ( - 3 , - 4 , t ) , para termos a menor distância, devemos ter vec P Q . (0 , 0 , 1) = 0 (ou seja, o vetor vec P Q deve ser ortogonal às retas).

vec P Q . (0 , 0 , 1) = 0

(- 3 , - 4 , t) . (0 , 0 , 1) = 0

- 3.0 - 4.0 + t . 1 = 0

t = 0

Como t = 0 , o ponto Q pode ser escrito como

Q = ( 0 , 0 , 0 )

Passo 4

Bom, agora é só encontrarmos a distância entre os pontos P = ( 3 , 4 , 0 ) e Q = ( 0 , 0 , 0 ) , usando a fórmula de distância entre pontos:

d (P , Q) = sqrt((3 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 0)^2)

d (P , Q) = sqrt(9 + 16) = 5

Resposta

d (r , s) = 5

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