Enunciado

Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:

c) r :   x = 3 y = 2 e s :   x = 1 y = 4

Passo 1

Nesse caso, temos equações planares das nossas retas. Vamos escrever na forma vetorial, para r temos

x ,   y ,   z = ( 3 ,   2 ,   z )

r : X = 3 ,   2 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

E para s :

x ,   y ,   z = ( 1 ,   4 ,   z )

s : X = 1 ,   4 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

Passo 2

Opa, os vetores diretores de r e s são os mesmos, ou seja, as duas retas são paralelas. Agora temos que verificar se elas são paralelas distintas ou coincidentes né hehe

Para isso, vamos substituir o ponto ( 1 ,   4 ,   0 ) de s na equação de r e ver se existe t tal que esse ponto pertence à reta. Se existir, são coincidentes, se não, são distintas ;)

1 ,   4 ,   0 = 3 ,   2 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

1 ,   4 ,   0 = ( 3 ,   2 ,   t )

Igualando as coordenadas temos:

1 = 3 4 = 2 t = 0

Opa, na primeira e na segunda linha temos desigualdades né D: então o ponto de s não pertence à reta r e portanto, elas são paralelas distintas.

Passo 3

Sabemos que a distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto de r até a reta s :)

Seja o ponto P = ( 3 ,   2 ,   0 ) um ponto de r .

Um ponto genérico de s é Q = ( 1 ,   4 ,   t ) .

Vamos calcular a distância entre esses dois pontos, e aí teremos a distância entre r e s .

Temos então o vetor P Q → = ( - 2 ,   2 ,   t ) . Bom, queremos que P Q → seja ortogonal ao vetor diretor de s para aí termos a menor distância, ou seja:

P Q → . s → = 0

- 2 ,   2 ,   t . 0 ,   0 ,   1 = 0

t = 0

Se t = 0 , substituindo no nosso ponto Q , temos Q = 1 ,   4 ,   0 .

Agora é só calcularmos a distância entre P e Q :

d P ,   Q = 3 - 1 2 + 2 - 4 2 + 0 2

d P ,   Q = 2 2 + - 2 2

d P ,   Q = 4 + 4 = 8 = 2 2

E essa é a distância entre r e s :)

Resposta

d r ,   s = 2 2

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