Enunciado

Calcular x , sabendo que A ( x ,   1 ,   1 ) , B ( 1 ,   - 1 ,   0 ) e C ( 2 ,   1 , - 1 ) são vértices de um triângulo de área 29 2 .

Passo 1

Nosso desafio agora é calcular x , sabendo que A ( x ,   1 ,   1 ) , B ( 1 ,   - 1 ,   0 ) e C ( 2 ,   1 , - 1 ) são vértices de um triângulo de área 29 2 . Vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

A área do triângulo é dada pela fórmula A B → × B C → 2 , certo?

Precisamos primeiro então, achar os nossos vetores A B → e B C → :

A B → = B - A = 1 ,   - 1 ,   0 - x ,   1 ,   1 = 1 - x ,   - 2 ,   - 1

B C → = C - B = 2 ,   1 ,   - 1 - ( 1 , -   1 , 0 ) = ( 1 ,   2 ,   - 1 )

Passo 3

Agora, fazendo o produto vetorial, temos:

A B → × B C → = i → j → k → 1 - x - 2 - 1 1 2 - 1 = 4 i → - x j → + - 2 x + 4 k → = ( 4 , - x , - 2 x + 4 )

Assim, o módulo de A B → × B C → vale:

A B → × B C → = 4 2 + x 2 + ( - 2 x + 4 ) 2

A C → × B A → = 16 + x 2 + 16 - 4 x + 4 x 2

Passo 4

Como sabemos a área do triângulo, temos:

16 + x 2 + 16 - 4 x + 4 x 2 2 = 29 2

16 + x 2 + 16 - 4 x + 4 x 2 = 29

Elevando os dois lados ao quadrado, cancelamos as raízes, obtendo:

1 6 + x 2 + 16 - 4 x + 4 x 2 = 29

5 x 2 - 16 x + 32 = 29

5 x 2 - 16 x + 3 = 0

Passo 5

Agora, é mole, basta resolvermos nossa equação do 2° grau, usando Bhaskara:

Δ = 256 - 60 = 196

x = 16 ± 14 10

x ' = 2 10 = 1 5 ;     x ' ' = 30 10 = 3

Portando, os valores de x são: 1 5 , 3 .

Resposta

x ' = 1 5   o u   x ' ' = 3

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Sendo i → ,j → ,k → uma base ortonormal psotiva, calcule 2 k → - i → + 5 j → ∧ 3 i → - 2 k → + j → .
Os vetores a → e b → são unitários e a n ga → ,b → = 30 ° . O vetor c → , ortogonal a ambos, tem norma 2 , e a base a → ,b → ,c → é positiva. Sendo u → um vetor tal que u → ⋅ a → = 2 , u → ⋅ b → = 1 e
Sendo ( i → ,j → ,k → ) uma base ortonormal positiva, descreve, sem fazer cálculos, o conjunto-solução de cada uma das equações.a) x → ∧ 2 i → + j → - k → = 4 i → + 3 k → b) x → ∧ 2 i → + 3 k → = 0 →
Resolva a equação i → ∧ x → ∧ i → + x → ∧ j → ∧ j → + x → ∧ k → ∧ k → = 0 →
Aponte, na dedução de [11-4], onde foi usada a ortonormalidade de B e onde foi necessário que V 3 estivesse orientado.