Enunciado

Os vetores a → e b → são unitários e a n g   a → ,   b → = 30 ° . O vetor c → , ortogonal a ambos, tem norma 2 , e a base a → ,   b → ,   c → é positiva. Sendo u → um vetor tal que u → ⋅ a → = 2 , u → ⋅ b → = 1 e u → ⋅ c → = 1 , obtenha a tripla de coordenadas de u → na base a → ,   b → ,   a → ∧ b → .

Passo 1

Nesse problema, o primeiro passo é escrever c → em termos de a → ∧ b → . Como c → é ortogonal a a → e a b → , temos que ele é paralelo a a → ∧ b → :

c → = λ   a → ∧ b → ,               λ > 0

Assim,

c → = λ   a → ∧ b → = λ   a → b →   s e n   θ

Desta forma,

2 = λ ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⇒ λ = 4

Portanto,

c → = 4   a → ∧ b →

Além disso:

a → ⋅ a → = b → ⋅ b → = 1

c → ⋅ c → = 4

a → ⋅ b → = 1 ⋅ 1 ⋅ cos ⁡ 30 ° = 3 2

a → ⋅ c → = b → ⋅ c → = 0

Passo 2

Agora vamos escrever u → como combinação linear de a → ,   b → ,   c → :

u → = x ,   y ,   z = x a → + y b → + z c →

Agora usamos u → ⋅ a → = 2 , u → ⋅ b → = 1 e u → ⋅ c → = 1 :

u → ⋅ a → = x   a → ⋅ a → + y   b → ⋅ a → + z   c → ⋅ a → = 2

u → ⋅ b → = x   a → ⋅ b → + y   b → ⋅ b → + z   c → ⋅ b → = 1

u → ⋅ c → = x   a → ⋅ c → + y   b → ⋅ c → + z   c → ⋅ c → = 2

Assim,

x + 3 2   y = 2 3 2   x + y = 1 4 z = 2

Passo 3

Da primeira equação:

x = 2 - 3 2   y

Substituindo na segunda:

3 2   2 - 3 2   y + y = 1 ⇒ 3 - 3 4 y + y = 1 ⇒ y 4 = 1 - 3 ⇒ y = 4 - 4 3

Assim,

x = 2 - 3 2 4 - 4 3 = 2 - 2 3 + 6 = 8 - 2 3

E ainda,

z = 2 4 = 1 2

Assim,

u → = 8 - 2 3 a → + 4 - 4 3 b → + 1 2   c →

Como c → = 4   a → ∧ b → , temos que

u → = 8 - 2 3 a → + 4 - 4 3 b → + 2   a → ∧ b →

Resposta

u → = 8 - 2 3 a → + 4 - 4 3 b → + 2   a → ∧ b →

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Dados os vetores u → = ( 1 ,1 ,0 ) e v → = ( - 1 ,1 ,2 ) , determinar:a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u → e v → ;b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a u → e v → .
Sabendo que u → = 6 ,v → = 4 e 30 ° o ângulo entre u → e v → , calcular:b) a área do paralelogramo determinado por u → e ( - v → ) ;
Dados os vetores u → = ( 3 , - 1 ,2 ) e v → = ( - 2 ,2 ,1 ) , calcular:a) a área do paralelogramo determinado por u → e v → ;
Dados os vetores u → = ( 3 , - 1 ,2 ) e v → = ( - 2 ,2 ,1 ) , calcular:b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v → .
Sabendo que u → = 6 ,v → = 4 e 30 ° o ângulo entre u → e v → , calcular:a) a área do triangulo determinado por u → e v → ;