Enunciado

Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   R 2 → R 3 ,     T x , y = ( x - y , 3 x , - 2 y )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y = ( x - y , 3 x , - 2 y ) . Vamos testar a primeira propriedade com u = ( a , b ) e v = ( c ,   d ) :

T u + v = T a + c , b + d = ( a + c - b - d ,   3 a + 3 c ,   - 2 b - 2 d )

Assim,

T u + v = a - b ,   3 a ,   - 2 b + ( c - d ,   3 c ,   - 2 d )

Mas note que os termos da direita são exatamente T ( u ) e T ( v ) !!! Portanto,

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda propriedade:

T λ u = T λ a , λ b = ( λ a - λ b ,   3 λ a ,   - 2 λ b )

Colocando λ para fora:

T λ u = λ a - b ,   3 a ,   - 2 b = λ T ( u )

Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que T é linear!

Resposta

Sim

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