Enunciado

Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas:

b)

r 1 = x = m - t y = 1 + t z = 2 t e r 2 : x - 1 3 = y + 2 1 = z - 2

Passo 1

Inicialmente devemos colocar as equações da reta 2 na forma reduzida. Vamos reescrever as equação na forma paramétrica e em seguida deixa-la na forma reduzida. Para teremos que colocar o “ t ” em evidencia na primeira equação e substituímos nas demais. (OBS: as equações da reta r 2 já estão na forma reduzida)

Para r 1

x = m - t       ( e q u a c a o   I ) y = 1 + t   ( e q u a c a o   I I ) z = 2 t   ( e q u a c a o   I I I )  

Para r 2

r 2 ; x - 1 3 = y + 2 1 = z - 2

x - 1 3 = y + 2 1       ⟶           y = x - 7 3                 ( e q u a ç ã o   I V )

x - 1 3 = z - 2           →               z = - 2 x + 2 3                 ( e q u a ç ã o   V )

Passo 2

Para identificarmos o valor de t teremos que igualar a equação ( I I I   e   V ) .

I I I =   V

2 t = - 2 x + 2 3                                       ( e q u a ç ã o   V )

t = - x + 1 3

Agora vamos pegar o valor de t igualar

I I = I V

1 + t = x - 7 3

3 t = x - 7 - 3

- x + 1 3 = x - 10 3

- x + 1 = x - 10

11 = 2 x

x = 11 2

Show agora vamos achar m

x = m - t

11 2 = m - - 11 2 + 1 3

11 2 = m - - 9 2 3

11 2 = m - - 3 2

11 2 = m + 3 2

11 2 - 3 2 = m

m = 8 2 = 4

Passo 3

Para saber se há um ponto em comum entre as retas substituimos t nas equação I I I   e   I V , temos.

y = - 2 3 e z = - 10 3

Com isso as retas se encontram em um ponto em comum, sendo P   ( 6 , - 2 3 , - 10 3 ) quando m = 4 .

Resposta

Haverá um ponto em comum entre as retas   P   ( 6 , - 2 3 , - 10 3 ) quando m = 4 .

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Estude a posição relativa das retas r e s c) r : x + 1 2 = y 3 = z + 1 2s :X = 0 ,0 ,0 + λ ( 1 ,2 ,0 )
Estude a posição relativa das retas r e s f) r : x - 1 3 = y - 5 3 = z + 2 5s :x = - y = z - 1 4
Estude a posição relativa das retas r e s h) r : x + 3 = 2 y - 4 4 = z - 1 3 s :X = 0 ,2 ,2 + λ ( 1 ,1 ,- 1 )