Enunciado

Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas:

a)

r 1 = y = 2 x - 5 z = - x + 2 e r 2 = x - 5 = y m = z + 1

Passo 1

Inicialmente devemos colocar as equações da reta 2 na forma reduzida. Vamos reescrever as equação na forma paramétrica e em seguida deixa-la na forma reduzida. Para teremos que colocar o “ t ” em evidencia na primeira equação e substituímos nas demais. (OBS: as equações da reta r 2 já estão na forma reduzida)

Para r 1

y = 2 x - 5                                         ( e q u a ç ã o   I )

z = - x + 2                                         ( e q u a ç ã o   I I )

Para r 2

r 2 = x - 5 = y m = z + 1

x - 5 = y m       ⟶           y = m x - 5 m                 ( e q u a ç ã o   I I I )

x - 5 = z + 1           →               z = x - 6                 ( e q u a ç ã o   I V )

Passo 2

Para identificarmos o valor de m teremos que igualar as equações ( I   e   I I I ) e ( I I   e   I V ) .

I =   I I I

2 x - 5 = m x - 5 m                                       ( e q u a ç ã o   V )

I I = I V

- x + 2 = x - 6

- x - x = - 6 - 2

- 2 x = - 8

x = 4

Substituindo o valor de x na e q u a ç ã o   V , temos m

2 x - 5 = m x - 5 m

2 . 4 - 5 = 4 m - 5 m

8 - 5 = - m

m = - 3

Passo 3

Para saber se há um pnto em comndo entre as retas substituimos m nas equação I I I   e   I V , temos.

y = 3 e z = - 2

E substituímos x nas equação I   e   I I .

y = 3 e z = - 2

Com isso as retas se encontram em um ponto em comum, sendo P   ( 4,3 , - 2 ) quando m = - 3 .

Resposta

Haverá um ponto em comum entre as retas, P   ( 4,3 , - 2 ) quando m = - 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam r : X = 1 ,1 ,1 + λ ( 1 ,1 ,1 ) e s : X = 1 ,2 ,0 + λ ( 2 ,3 ,m ) . Verifique se existe algum valor de m tal que r e s sejam ortogonais ou perpendiculares.
Obtenha o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r , nos casos: P = 1 ,1 ,- 1 r : x + 2 3 = y = z
Obtenha o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r , nos casos: P = 0 ,2 ,1 r : X = 1 ,0 ,0 + λ( 0 ,1 ,- 1 )
A diagonal B C de um quadrado A B C D está contida na reta r : X = 1 ,0 ,0 + λ( 0 ,1 ,1 ) . Conhecendo A = ( 1 ,1 ,0 ) , determine os outros três vértices.
Obtenha o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r , nos casos: P = 0 ,0 ,- 1 r : x - y - z = 0 = 2 x + 3 y - 1