Enunciado

Calcule a área do quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse de equação 9 x 2 + 16 y 2 = 100 .

Passo 1

Eita, pelo enunciado esta questão parece ser bem complicada!

E aí, o que precisamos fazer? Vamos começar fazendo um esboço da elipse e desenhar o nosso quadrado. Talvez isto ajude. Portanto,

Este desenho é interessante para percebermos a simetria dos pontos em relação aos eixos coordenados. Se temos um vértice A = x 0 , x 0 , notem que as coordenadas x e y são iguais pois estamos falando de um quadrado, temos os seguintes vértices então:

B = - x 0 , x 0

C = - x 0 , - x 0

D = x 0 , - x 0

De forma que o lado do quadrado é L = 2 x 0 , e, portanto, sua área será:

A = L 2 = 4 x 0 2

Portanto, nosso trabalho será encontrar este x 0 .

Passo 2

E agora, como encontraremos este ponto x 0 ?

Bom, nós já não sabemos que seu vértice A tem coordenadas A = x 0 , x 0 ? E também que este vértice pertence a elipse, e, portanto, satisfaz a sua equação?

Pronto! Esta é a sacada! Basta substituirmos as coordenadas do ponto A na equação da elipse e assim descobrirmos o valor e x 0 ! Logo,

9 x 2 + 16 y 2 = 100

9 x 0 2 + 16 x 0 2 = 100

25 x 0 2 = 100

x 0 2 = 4

x 0 = 2

E assim chegamos ao valor de x 0 . Assumimos apenas o valor positivo, pois, como o ponto A está no primeiro quadrante, então, x 0 > 0 . Continuando, a área do nosso quadrado será:

A = L 2 = 4 x 0 2

A = 4 ⋅ 2 2 = 16   u . a .

Resposta

A = 16   u . a .

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