Enunciado

Calcule d e t 2 0 - 1 3 0 2 4 - 3 7

  1. Pela definição;
  2. Em relação à segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace.

Passo 1

Para resolver o item a, precisamos nos lembrar da definição de determinante, que é:

∑ ρ - 1 J a 1 j 1 … a n j n

Onde J = J ( j 1 ,   … ,   j n ) é o número de inversões da permutação ( j 1 , … , j n ) e ρ indica que a soma é estendida a todas as n ! Permutações de ( 1   2 … n ) .

Como essa matriz é 3 × 3 temos 3 ! = 6 permutações, que podemos escrever abaixo, veja:

a 11 a 22 a 33 = 2 ∙ 0 ∙ 7 = 0

a 11 a 23 a 32 = 2 ∙ 2 ∙ - 3 = - 12

a 12 a 21 a 3 3 = 0 ∙ 3 ∙ 7 = 0

a 12 a 23 a 31 = 0 ∙ 2 ∙ 4 = 0

a 13 a 21 a 32 = - 1 ∙ 3 ∙ - 3 = 9

a 13 a 22 a 31 = - 1 ∙ 0 ∙ 4 = 0

Só precisamos nos preocupar com o J do segundo e do quinto termo, pois os outros são nulos.

O primeiro termo possui permutação:

1   3   2

Do que segue que J = 1 , e o sinal é negativo.

O quinto termo tem permutação:

3   1   2

Do que segue que J = 2 , e o sinal é positivo.

Logo, o determinante é dado por:

- 1 ∙ - 12 + 9 = 21

Passo 2

Observe que é uma boa usar Laplace aqui, pois somente vamos utilizar o elemento a 32 = - 3 , que é o único não nulo dessa coluna.

Seu cofator é:

A 32 = - 1 ∙ 2 - 1 3 2 = - 4 + 3 = - 7

Logo, o determinante é dado por:

- 3 ∙ - 7 = 21

Resposta

  1. 21
  2. 21
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Prove que se det ⁡ A = 1 e todas as entradas de A são números inteiros, então todas as entradas de A - 1 também são inteiros.
Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma matriz 3 × 3 com det ⁡ A = 7 d )det ⁡ ( 2 A ) - 1
Seja A x = b um sistema de n equações lineares e n incógnitas com todos os coeficientes e as constantes números inteiros. Prove que se det ⁡ A = 1 , então a solução x tem entradas inteiras.
Seja A = a b c d e f g h i supondeo que det ⁡ A = - 7 , obtenha det ⁡ 3 A
Seja A x = b o sistema 4 x + y + x + w = 6 3 x + 7 y - z + w = 1 7 x + 3 y - 5 z + 8 w = - 3 x + y + z + 2 w = 3 . Qual método envolve menos contas?