Enunciado

Sejam A , B e C matrizes de ordem 2 e seja

X = A C 0 B

De ordem 4. Provar que det ⁡ X = det ⁡ A det ⁡ B . Este resultado vale para A , B , C ∈ M n R .

Passo 1

Vamos a mais uma questão para provar! O bom destas questões é que nós já sabemos a resposta. Esta é a grande vantagem!

Mas... e como verificamos isto? Primeiro, vamos imaginar que:

X = x 11 x 12 x 21 x 22

O que fizemos foi algo puramente visual. Talvez isto quebre a barreira de termos “matrizes” dentro de “matrizes”, entendem? Assim, fica mais fácil aplicarmos a relação de cofatores. Portanto, considerando os elementos da coluna 1, temos:

det ⁡ X = ∑ i = 1 2 a i 1 A i 1 = a 11 A 11 + a 21 A 21

Passo 2

Agora que aplicamos a relação dos cofatores, nosso trabalho é identificar quem são os números reais A 11 e A 21 .

Estes números serão o determinante da matriz de ordem n - 1 obtida ao eliminarmos a linha i e coluna j , multiplicado pelo termo - 1 i + j .

Agora, vamos analisar um caso particular, para o número A 11 . Se eliminarmos a linha 1 e coluna 1, teremos a “matriz” x 22 . Então, podemos escrever a seguinte relação:

A 11 = - 1 1 + 1 det ⁡ x 22 = - 1 2 det ⁡ B = det ⁡ B

Já identificamos um elemento da nossa relação. Se fizermos o mesmo procedimento para o elemento A 21 , temos:

A 21 = - 1 2 + 1 det ⁡ x 12 = - 1 3 det ⁡ C = - det ⁡ C

Portanto, temos:

det ⁡ X = a 11 det ⁡ B - a 21 det ⁡ C

Passo 3

Para finalizarmos, basta identificarmos quem são os valores a 11 e a 21 . Eles são exatamente os determinantes dos elementos localizados nesta posição. Portanto,

det ⁡ a 11 = det ⁡ x 11 = det ⁡ A

det ⁡ a 21 = det ⁡ x 21 = det ⁡ 0 = 0

Portanto, o determinante da matriz X será:

det ⁡ X = det ⁡ A det ⁡ B - 0 det ⁡ C

det ⁡ X = det ⁡ A det ⁡ B

E assim chegamos à relação que devíamos provar! Logo, finalizamos a nossa questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o cofator do elemento x da matriz A = 0 1 0 3 1 2 1 1 2 1 0 0 3 x 2 1
Calcule os cofatores de cada um dos termos da matriz A = 1 2 1 0 1 2 2 3 1
Desenvolva pela primeira coluna det ⁡ A = ∑ i = 1 3 a i 1 A i 1 e depois calcule o determinante da matriz 3 4 0 1 1 0 2 0 2
Repetir o exercício 3 com a matriz 2 1 3 0 1 2 1 0 0 0 2 1 3 1 1 4