Enunciado

Calcule o determinante da matriz de Vandermonde:

m 2 m 1 n 2 n 1 p 2 p 1

Sem calcular o determinante, mostre diretamente que m, n e p são três números distintos então a matriz acima tem posto 3 (isto é, suas linhas são linearmente independentes)

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Primeiramente vamos lembrar que existe duas formas de determinar se uma matriz é linearmente independente - L.I ou não.

A primeira se o determinante for diferente de zero.

det ⁡ u , v , w   ≠ 0

Sendo , u , v   e   w vetores que compõem a matriz.

A segunda forma seria se os coeficientes multiplicados nos vetores serem iguais a zero, como mostra abaixo,

α . u +   β . v +   δ w = 0

Onde,

α = β = δ = 0

Com isso em mente, vamos então ao próximo passo...

Passo 2

Este passo será provar a relação   det ⁡ u , v , w   ≠ 0 e encontrar o valor do determinante solicitado na questão.

det ⁡ u , v , w =   m 2 n   +   n 2 p +   p 2 m - n p 2 -   m 2 p - n 2 m  

det ⁡ u , v , w =   m 2 n + p +   n 2 p - m +   p 2 m - n

det ⁡ u , v , w   ≠ 0

Passo 3

Agora vamos, mostrar que é L.I sem calcular o determinante. Para isto, vamos propor os seguinte vetores da matriz de Vandermonde

m 2 m 1 n 2 n 1 p 2 p 1

u = ( m 2 ,   n 2 ,   p 2 )

v = ( m ,   n ,   p )

w = ( 1 ,   1 ,   1 )

E usando a relação descrita no passo anterior,

α . u +   β . v +   δ w = 0

α . m 2 ,   n 2 ,   p 2 +   β . m ,   n ,   p +   δ . ( 1 ,   1 ,   1 ) = ( 0,0 , 0 )

Montando o sistema de equações, ficará,

α m 2 + β n 2 +   δ p 2 = 0 α m + β n +   δ p = 0 α + β +   δ = 0

No próximo passo, resolveremos o sistemas de equações para provar que, α = β = δ = 0

Passo 4

Quase finalizando a questão galera !!!

Neste passo vamos encontrar os coeficientes α ,   β   e   δ

α + β +   δ = 0

α + β = - δ

Substituindo na equação,

α m + β n +   δ p = 0

α m + β n - ( α + β ) p = 0

α ( m - p ) + β ( n - p ) = 0

α m - p = - β ( n - p )

α =   - β ( n - p ) m - p

Substituindo na próxima equação,

- β ( n - p ) m - p m 2 + β n 2 - ( α + β ) p 2 = 0

- β ( n - p ) m - p m 2 + β n 2 - ( - β n - p m - p   + β ) p 2 = 0

β - n - p m - p m 2 +   n 2 - - n - p m - p p 2 - p 2   = 0

β = 0

Encontrando os próximos coeficientes,

α + β = - δ

α = - δ

E

α m + β n +   δ p = 0

α m +   δ p = 0

α m -   α p = 0

α ( m -   p ) = 0

α = 0

E como também,

α = - δ

δ = 0

Resposta

Então, podemos concluir que a matriz de Vandermonde é L.I e com os coeficientes iguais a zero,

α = β = δ = 0

E de determinante igual,

det ⁡ u , v , w =   m 2 n + p +   n 2 p - m +   p 2 m - n

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

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