Enunciado

Calcule as medidas angulares entre a reta que contém a diagonal de um cubo e os planos que contêm suas faces.

Passo 1

Bom pessoal, vamos começar com um desenho da situação, um cubo de lado a e uma diagonal.

E vamos colocar a origem do sistema de coordenadas em um dos vértices do cubo:

Uma coisa é importante: não faz diferença qual diagonal você está pegando

Se trocássemos aquele por outro, era só “girar o cubo” e o sistema de coordenadas, e daria pra chegar nessa mesma situação!

Como o lado é a , vamos escrever as coordenadas dos pontos A e B :

A = 0   ,   0   ,   a

B = a   ,   a ,   0

Passo 2

Então vamos começar encontrar a equação da reta r que contém a diagonal. Essa reta é paralela ao segmento A B - .

Então o vetor diretor da reta é:

r → = A B → = a , a , 0 - 0,0 , a = a , a , - a

r → = a 1,1 , - 1

E como a constante não faz diferença no vetor diretor, vamos usar só:

r → = 1,1 , - 1

Tá, do que a gente precisa para encontrar o ângulo entre a reta e um plano π ?

Bom, se a reta tem vetor diretor r → e um plano tem um vetor normal π , o ângulo θ entre r e π é:

sen ⁡ θ = n → ∙ r → n → r →

Então a gente precisa do vetor normal ao plano.

Passo 3

Como falamos antes, por simetria, o ângulo que a reta faz é o mesmo com todos os planos.

Vamos procurar o vetor normal a esse plano aqui:

Pelo desenho, o vetor normal ao plano é o eixo y , ou seja, n → é esse vetor unitário aqui:

n → = 0,1 , 0

Agora é só usar a fórmula de cima:

sen ⁡ θ = n → ∙ r → n → r →

Passo 4

Primeiro vamos fazer o produto escalar:

n → ∙ r → = 0,1 , 0 ∙ 1,1 , - 1

n → ∙ r → = 0 1 + 1 1 + 0 - 1 = 1

E as normas são:

n → = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1 = 1

r → = 1 2 + 1 2 + - 1 2 = 3

Substituindo na fórmula:

sen ⁡ θ = n → ∙ r → n → r → = 1 1 3 = 1 3

Melhorando um pouco:

sen ⁡ θ = 1 3 = 1 3 3 3 = 3 3

Ou seja, o ângulo é:

θ = arcsen ⁡ 3 3

Resposta

O ângulo é θ = arcsen ⁡ 3 3 .

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Determine os planos que contém a reta r :x - 2 y + 2 z = 0 3 x - 5 y + 7 z = 0 E formam com o plano π 1 : x + z = 0 um ângulo de 60°.
e) Qual o ângulo entre os planos π 1 e π 2 ?
g) Qual a área do triângulo ABC?
Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A = (1, -1, 2) e B = (4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto médio de AB? Ele é perpendicular ao segmento AB?
Mostre que a distância entre duas retas não paralelas r 1 : x , y , z = ( x 1 + t a 1 , y 1 + t b 1 , z 1 + t c 1 ) e r 2 : x , y , z = ( x 2 + t a 2 , y 2 + t b 2 , z 2 + t c 2 ) é det ⁡ x 2 - x 1 y