Enunciado

Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A = (1, -1, 2) e B = (4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto médio de AB? Ele é perpendicular ao segmento AB?

Passo 1

Por “lugar geométrico”, o problema se refere a um plano. Dessa forma, podemos buscar coordenadas x, y e z desse plano que sejam equidistantes de A e B. Podemos utilizar vetores para indicar a ligação de um ponto do plano desejado aos pontos A e B de forma que:

A X → = x ,   y ,   z - 1 ,   - 1 ,   2 = ( x - 1 ,   y + 1 , z - 2 )

B X → = x ,   y ,   z - 4 ,   3 ,   1 = ( x - 4 ,   y - 3 , z - 1 )

A norma dos vetores indica a distância entre X = ( x ,   y ,   z ) e os pontos A e B.

Para o ponto A:

A X → = ( x - 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 2 ) 2

A X → = x 2 - 2 x + 1 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 - 4 z + 4

A X → = x 2 - 2 x + y 2 + 2 y + z 2 - 4 z + 6

Para o ponto B:

B X → = ( x - 4 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + ( z - 1 ) 2

B X → = x 2 - 8 x + 16 + y 2 - 6 y + 9 + z 2 - 2 z + 1

B X → = x 2 - 8 x + y 2 - 6 y + z 2 - 2 z + 26

Como desejamos ter a mesma distância entre X e A e X e B:

A X → = B X →

x 2 - 2 x + y 2 + 2 y + z 2 - 4 z + 6 = x 2 - 8 x + y 2 - 6 y + z 2 - 2 z + 26

x 2 - 2 x + y 2 + 2 y + z 2 - 4 z + 6 = x 2 - 8 x + y 2 - 6 y + z 2 - 2 z + 26

6 x + 8 y - 2 z = 20

Passo 2

Para respondermos a segunda pergunta, primeiro devemos calcular o ponto médio de AB:

M = O M → = O A → + O B → 2

Em que O A → e O B → são vetores que ligam os pontos A e B e a origem. Sabemos que A = (1, -1, 2) e B = (4, 3, 1):

O A → = 1 - 0 ,   - 1 - 0 ,   2 - 0 = 1 ,   - 1 ,   2

O B → = 4 - 0 ,   3 - 0 , 1 - 0 = 4 ,   3 ,   1

A soma desses vetores pode ser dada por:

O A → + O B → = 1 + 4 ,   - 1 + 3 ,   2 + 1 = ( 5 ,   2 ,   3 )

O M → = ( 5 ,   2 ,   3 ) 2 = ( 5 2 , 1 , 3 2 )

Substituindo esses pontos na equação do plano encontrada no Passo 1:

6 x + 8 y - 2 z = 20

6 ( 5 2 ) + 8 ( 1 ) - 2 ( 3 2 ) = 20

15 + 8 - 3 = 20

20 = 20

Ou seja, as coordenadas satisfazem a equação do plano. Como a equação do plano foi satisfeita, isso significa que o ponto médio de A e B está incluso no plano.

Passo 3

Por fim, para descobrirmos se o plano é perpendicular ao segmento AB, vamos calcular o vetor A B → .  

A B → = 4 ,   3 ,   1 - 1 ,   - 1 ,   2 = ( 3 ,   4 ,   - 1 )

Para que o plano e AB sejam perpendiculares, o vetor normal ao plano (N = (6, 8, -2)) e o vetor A B → devem ser paralelos, ou seja, um deve ser múltiplo do outro:

A B → ∙ 2 = N

3 ,   4 ,   - 1 ∙ 2 = ( 6 ,   8 ,   - 2 )

Dessa forma, como N e A B → são paralelos, o plano encontrado é perpendicular a AB.

Resposta

A equação do plano é 6 x + 8 y - 2 z - 20 = 0

O plano passa pelo ponto médio de AB.

O plano é perpendicular a AB.

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