Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r e forma ângulo de θ radianos com s .

(a) sen ⁡ θ = 1 / 11 s : X = 1 , 1 , 0 + λ 3,1 , 1 r : x - 3 z + 3 = y = 2

Passo 1

Antes de mais nada, vamos encontrar a equação daquela reta r .

O enunciado deu duas equações planares para a reta:

x - 3 z + 3 = 2 y = 2

Cada uma dessas equações é um plano. Podemos escrever cada uma na forma paramétrica:

x - 3 z + 3 = 2

x - 3 z = - 1           ⇒           x = 3 b - 1 y = a z = b

Ou seja, cada ponto no plano é:

π 1 :   3 b - 1     ,     a   ,     b

E para o segundo plano:

y = 2

Então cada ponto é:

π 2 :   c     ,     2     ,     d

Agora vamos igualar as duas:

3 b - 1 , a , b = c , 2 , d

E transformar isso em um sistema de três equações:

3 b - 1 = c a = 2 b = d

Escrevendo todas essas variáveis em termos de b , ficamos com:

a = 2 c = 3 b - 1 d = b

Substituindo isso na fórmula de qualquer um dos dois planos lá de cima, o π 1 , por exemplo:

3 b - 1     ,     a   ,     b

Colocando a = 2 , chegamos na equação de uma reta, que é a interseção dos dois planos:

r : 3 b - 1 ,     2 ,     b

r : - 1,2 , 0 + α 3,0 , 1

Passo 2

O plano que a gente quer encontrar para responder a questão precisa conter a reta r . Isso quer dizer que se o plano tem essa equação geral aqui:

a x + b y + c z = d

O vetor normal a ele é:

n → = a , b , c

E se r está no plano, então n → tem que ser normal ao vetor diretor da reta r também. Se eles são normais, então esse produto interno aqui tem que ser nulo:

n → ∙ r → = 0

a , b , c ∙ 3,0 , 1 = 0

3 a + c = 0

Vamos procurar outras condições para o plano.

Passo 3

Se o ângulo formado pela reta s e o nosso plano é θ , então:

sen ⁡ θ = n → ∙ s → n → s →

Onde n → é o vetor normal que definimos lá em cima, e s → é o vetor diretor da reta s que apareceu lá no enunciado:

s → = 3,1 , 1

E agora fazendo o produto interno:

n → ∙ s → = a , b , c ∙ 3,1 , 1 = 3 a + b + c

E os módulos são:

n → = a 2 + b 2 + c 2

s → = 3 2 + 1 2 + 1 2 = 11

Substituindo tudo isso na fórmula de cima:

sen ⁡ θ = 3 a + b + c 11 a 2 + b 2 + c 2

E o enunciado disse que sen ⁡ θ = 1 / 11 :

1 11 = 3 a + b + c 11 a 2 + b 2 + c 2

a 2 + b 2 + c 2 = 3 a + b + c

Passo 4

E vamos ver o que essa equação diz:

a 2 + b 2 + c 2 = 3 a + b + c

Lá no passo 2 , a gente viu que:

3 a + c = 0

Então ali do lado direito da equação:

a 2 + b 2 + c 2 = 3 a + c + b

a 2 + b 2 + c 2 = b

Qual é a única forma de essa equação aí de cima ser verdadeira? Vamos elevar os dois lados ao quadrado:

a 2 + b 2 + c 2 = b 2

a 2 + c 2 = 0

E como esses dois números são positivos (porque estão elevados ao quadrado), a soma deles nunca vai dar zero! A não ser que:

a = c = 0

Então essa é a condição do nosso plano! E a equação geral é:

a x + b y + c z = d

0 x + b y + 0 z = d

b y = d

Isso quer dizer que o nosso plano é paralelo ao plano x z :

y = d b

Que é uma constante qualquer, que podemos representar simplesmente por A :

y = A

Passo 5

Como a gente pode definir essa constante? Bom, a ideia é que esse plano:

y = A

Contenha a reta r :

- 1,2 , 0 + α 3,0 , 1

Isso quer dizer que o ponto - 12,0 , que está na reta r , também tem que estar no plano. Ou seja:

y = 2

A equação geral é:

y - 2 = 0

Pronto! Essa é a equação do plano que estávamos procurando.

Resposta

O plano é y - 2 = 0 .

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