Enunciado

Sejam f ( t )   =   ( t   -   1 ) ( t   -   2 ) ( t   -   3 ) e

a) Provar que f ( A )   =   0 ;

b) Sejam L 1   ( t ) ,   L 2   ( t ) e L 3   ( t ) os polinômios de Lagrange correspondentes a ( 1 ,   2 ,   3 ) (ver exercício 1 ) e sejam as matrizes E i   =   L i   ( A )   ( i   =   1 ,   2 ,   3 ) . Calcular   E 1 , E 2 , E 3 ;

c) Provar que E 1   +   E 2   +   E 3   =   4 , e E i E j   =   o se i   ≠   j ;

d) Mostrar que A   =   E 1   +   2 E 2   +   3 E 3 .

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Sejam f t = t - 1 × t - 2 × ( t - 3 ) e A a matriz definida por:

A = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1

Vamos fazer o que se pede ok?

Passo 2

Vamos lá! Vamos mostrar que A = E 1 + 2 × E 2 + 3 × E 3 .

Observe que E 1 + 2 × E 2 + 3 × E 3 é:

= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 + 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 = A .

Resposta

Concluímos a prova.

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Sejam L 0( t ) ,L 1( t ) , . . .,L n ( t ) Os polinômios de Lagrange correspondentes a ( t o ,t 1 , . . . ,t n ) . Provar que L 0( t )+L 1( t )+ . . .+L n ( t )= 1 e que t=t 0 L 0 ( t )+t 1 L 1 ( t )+
Suponha que X 1 , X 2 , … , X n seja um conjunto de vetores do R n linearmente independente. Mostre que se A é uma matriz nxn não singular, então A X 1 , A X 2 , … , A X n também é um conjunto linearm
Mostre que 2 ,t + 1 ,t 2 + 1 , … , t n + 1 , … é um conjunto de polinômios linearmente independente.
Mostre que as funções f 1 t = e λ 1 t ,f 2 t = e λ 2 t , … , f k t = e λ k t , onde λ 1 , … , λ k ∈ R , são linearmente independentes se, e somente se, λ i ≠ λ j , para i ≠ jei , j = 1 , … , k .
Verifique se as funções seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a )t , cos ⁡ t , sin ⁡ te mC 2 - π , π ; b ) cos ⁡ t ,1 , sin 2 ⁡ t 2e mC 2 - π , π ; c )1 ,e t + e - t ,e t - e - t e m