Enunciado

Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.

(a) Lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que d ( X , B ) e d X , D estejam na razão 2 : 3 , sendo B = - 2,2 , - 2 e D = 3 , - 3,3 .

Passo 1

Vamos tentar resolver esse problema só usando um pouco de álgebra.

Primeiro temos que lembrar da fórmula para a distância entre dois pontos:

d A , B = z B - z A 2 + y B - y A 2 + x B - x A 2

Então tá, já que os nossos pontos são:

B = - 2,2 , - 2

D = 3 , - 3,3

X = x , y , z

Aquelas duas distâncias que foram dadas no enunciado são:

d X , B = z - - 2 2 + y - 2 2 + x - - 2 2

d X , B = z + 2 2 + y - 2 2 + x + 2 2

E a outra é:

d X , D = z - 3 2 + y - - 3 2 + x - 3 2

d X , D = z - 3 2 + y + 3 2 + x - 3 2

Passo 2

O enunciado disse que as duas distâncias têm que estar na proporção 2 : 3 , então:

d X , B d X , D = 2 3

Então:

3 d X , B = 2 d X , D

Substituindo as fórmulas:

3   z + 2 2 + y - 2 2 + x + 2 2 = 2   z - 3 2 + y + 3 2 + x - 3 2

E elevando os dois lados ao quadrado:

9 z + 2 2 + y - 2 2 + x + 2 2 = 4 z - 3 2 + y + 3 2 + x - 3 2

Agora vamos abrir todos esses parênteses. Começando pelo termo do lado esquerdo:

9 z + 2 2 + y - 2 2 + x + 2 2 = 9 z 2 + 4 z + 4 + y 2 - 4 y + 4 + x 2 + 4 x + 4

9 z + 2 2 + y - 2 2 + x + 2 2 = 9 z 2 + 4 z + y 2 - 4 y + x 2 + 4 x + 12

E o termo do lado direito:

4 z - 3 2 + y + 3 2 + x - 3 2 = 4 z 2 - 6 z + 9 + y 2 + 6 y + 9 + x 2 - 6 x + 9

4 z - 3 2 + y + 3 2 + x - 3 2 = 4 z 2 - 6 z + y 2 + 6 y + x 2 - 6 x + 27

Igualando os dois lados:

9 z 2 + 4 z + y 2 - 4 y + x 2 + 4 x + 12 = 4 z 2 - 6 z + y 2 + 6 y + x 2 - 6 x + 27

Agora vamos multiplicar tudo:

9 z 2 + 36 z + 9 y 2 - 36 y + 9 x 2 + 36 x + 108 = 4 z 2 - 24 z + 4 y 2 + 24 y + 4 x 2 - 24 x + 108

Subtraindo 108 dos dois lados:

9 z 2 + 36 z + 9 y 2 - 36 y + 9 x 2 + 36 x = 4 z 2 - 24 z + 4 y 2 + 24 y + 4 x 2 - 24 x

Agora vamos juntar alguns temos:

z 2 9 - 4 + y 2 9 - 4 + x 2 9 - 4 + z 36 + 24 + y - 24 - 36 + x 36 + 24 = 0

5 z 2 + 5 y 2 + 5 x 2 + 60 z - 60 y + 60 x = 0

E dividindo tudo por 5 :

z 2 + y 2 + x 2 + 12 z - 12 y + 12 x = 0

Passo 3

Ok, já simplificamos bastante. Mas para conseguir encontrar o centro e o raio, ainda precisamos melhorar essa fórmula.

Vamos usar o método de completar quadrados. Por sorte todos os termos são muito parecidos:

z 2 + y 2 + x 2 + 12 z - 12 y + 12 x = 0

Por exemplo:

x + 6 2 = x 2 + 12 x + 36

Então somando 36 dos dois lados:

z 2 + y 2 + x 2 + 12 z - 12 y + 12 x + 36 = 36

x + 6 2 + z 2 + 12 z + y 2 - 12 y = 36

E fazendo a mesma coisa pra o z , vamos somar 36 dos dois lados mais uma vez:

x + 6 2 + z 2 + 6 + y 2 - 12 y = 36 + 36

E no caso do y , vamos usar essa relação aqui:

y - 6 2 = y 2 - 12 y + 36

Então temos que somar 36 de novo:

x + 6 2 + z 2 + 6 + y 2 - 12 y + 36 = 108

x + 6 2 + z 2 + 6 + y - 6 2 = 108

Bem melhor!

Passo 4

E agora já dá pra encontrar o centro e o raio da esfera.

Lembrando que se uma esfera tem centro C = x 0 , y 0 , z 0 e raio r , a equação é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Então, olhando para a equação:

x + 6 2 + y - 6 2 + z 2 + 6 = 108

Podemos ver que:

C = - 6 ,   6 ,   - 6

E o raio é:

r = 108 = 36 3 = 6 3

Resposta

O centro da esfera é C = - 6 ,   6 ,   - 6 e o raio é r = 6 3 .

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Sejam S 1 : x 2 + y 2 + z 2 = 9 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 12 y + 12 z + 72 = 0 . Obtenha a equação reduzida de uma superfície esférica tangente a ambas, sendo colineares os três termos.
Obtenha a equação reduzida da superfície esférica tangente ao plano π : z = 0 no ponto 1 ,- 2 ,0 que tangencia exteriormente à superfície esfera S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 8 y - 2 z + 1 = 0 .
Imponha uma condição aos coeficientes a , b , c e d para que o plano π : a x + b y + c z + d = 0 seja tangente à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 .
Determine o centro e o raio da circunferência interseção do plano π : 2 x - 2 y - z + 9 = 0 com a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z - 86 = 0 .
Obtenha equações da circunferência Γ de centro G que contém os pontos A e B , nos casos: G = 1,2 , 1 , A = 2,2 , 0 , B = 1,1 , 4 G = 1,1 , 4 , A = 0,3 , 2 , B = 2,3 , 6 G = 2,1 , 1 , A = 1,0 , 2 , B =