Enunciado

Sejam S 1 : x 2 + y 2 + z 2 = 9 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 12 y + 12 z + 72 = 0 . Obtenha a equação reduzida de uma superfície esférica tangente a ambas, sendo colineares os três termos.

Passo 1

Vamos obter os centros e raios de S 1 e S 2 :

x 2 + y 2 + z 2 = 9 ⟹ C 1 = 0,0 , 0 ,   R 1 = 3

x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 12 y + 12 z = - 72 ⟺

x - 3 2 + y - 6 2 + z + 6 2 = 9 ⟹ C 2 = 3 ,   6 ,   - 6 ,   R 2 = 3

Passo 2

Vamos obter a equação da reta que passa por C 1 e C 2 :

X = C 1 + t C 2 - C 1 = 0,0 , 0 + t 3,6 , - 6 - 0,0 , 0

X = 3 t ,   6 t ,   - 6 t

Assim, para algum t , temos que o centro da esfera procurada é:

C = 3 t ,   6 t ,   - 6 t

Nosso objetivo será calcular t .

Passo 3

Como as esferas são tangentes:

d C ,   C 1 = R + 3 ⟹ 9 t 2 + 36 t 2 + 36 t 2 = R + 3

d C ,   C 2 = R + 3 ⟹ 3 t - 3 2 + 6 t - 6 2 + 6 t - 6 2 = R + 3

Passo 4

Igualando as equações, ficamos com

81 t 2 = 81 t 2 - 162 t + 81 ⟹ 81 t 2 = 81 t 2 - 162 t + 81

162 t = 81 ∴ t = 1 2

Portanto, o centro procurado será

C = 3 2 ,   3 ,   - 3

R + 3 = 9 2 ⟹ R = 3 2

Portanto, a equação é

x - 3 2 2 + y - 3 2 + z + 3 2 = 9 4

Observação: há outras soluções, porém o enunciado deixa claro que deseja a equação de uma superfície esférica.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Estude a posição relativa e descreva a interseção das superfícies esféricas S 1 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 2 z + 2 = 0 S 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 4 = 0
Seja S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + y - 10 = 0 . Obtenha a equação geral da superfície esférica S 1 de centro 1,0 , 1 , sabendo que S e S 1 são tangentes interiormente.
As superfícies esféricas S 1 : x - 1 2 + y - 3 2 + z 2 = 1 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 m x + 4 m y + 4 m z = 0 são tangentes. Quanto vale m ?
Sejam S 1 e S 2 superfícies esféricas não-concêntricas, C 1 e C 2 , os respectivos centros, ρ 1 e ρ 2 , os respectivos raios, tais que ρ 2 ≥ ρ 1 . Sejam δ = d C 1 ,C 2 e π o plano radical de S 1 e S 2