Enunciado

Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.

(a) Lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que d X , O = 2 d X , A , sendo que A = 10,0 , 0 e O a origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Vamos tentar resolver esse problema só usando um pouco de álgebra.

Primeiro temos que lembrar da fórmula para a distância entre dois pontos:

d A , B = z B - z A 2 + y B - y A 2 + x B - x A 2

Então tá, já que os nossos pontos são:

O = 0,0 , 0

A = 10,0 , 0

X = x , y , z

Aquelas duas distâncias que foram dadas no enunciado são:

d X , O = z - 0 2 + y - 0 2 + x - 0 2

d X , O = z 2 + y 2 + x 2

E a outra é:

d X , A = z - 0 2 + y - 0 2 + x - 10 2

d X , A = z 2 + y 2 + x - 10 2

Passo 2

Beleza, agora vamos ver a condição que o enunciado deu:

d X , O = 2 d X , A

Substituindo as fórmulas:

z 2 + y 2 + x 2 = 2 z 2 + y 2 + x - 10 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

z 2 + y 2 + x 2 2 = 2 2 z 2 + y 2 + x - 10 2 2

z 2 + y 2 + x 2 = 4 z 2 + y 2 + x - 10 2

z 2 + y 2 + x 2 = 4 z 2 + 4 y 2 + 4 x - 10 2

Abrindo aquele último produto notável:

z 2 + y 2 + x 2 = 4 z 2 + 4 y 2 + 4 x 2 - 20 x + 100

z 2 + y 2 + x 2 = 4 z 2 + 4 y 2 + 4 x 2 - 80 x + 400

Arrumando um pouco:

0 = 3 z 2 + 3 y 2 + 3 x 2 - 80 x + 400

Agora vamos dividir tudo por 3 :

z 2 + y 2 + x 2 - 80 3 x + 400 3 = 0

Ok, mas ainda não está fácil de descobrir o centro e o raio.

Passo 3

O primeiro passo é usar a técnica de completar quadrados:

z 2 + y 2 + x 2 - 80 3 x + 400 3 = 0

Dê uma olhada nos termos que dependem de x :

x 2 - 80 3 x

Isso é muito parecido com:

x - 40 3 2 = x 2 - 80 3 x + 1600 9

Então vamos somar 1600 / 9 nos dois lados da equação:

z 2 + y 2 + x 2 - 80 3 x + 400 3 + 1600 9 = 1600 9

Então:

z 2 + y 2 + x - 40 3 2 + 400 3 = 1600 9

Arrumando um pouco mais:

z 2 + y 2 + x - 40 3 2 = 1600 9 - 400 3

z 2 + y 2 + x - 40 3 2 = 400 9

z 2 + y 2 + x - 40 3 2 = 20 3 2

Passo 4

E agora já dá pra encontrar o centro e o raio da esfera.

Lembrando que se uma esfera tem centro C = x 0 , y 0 , z 0 e raio r , a equação é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Então, olhando para a equação:

z 2 + y 2 + x - 40 3 2 = 20 3 2

Podemos ver que:

C = 40 3 ,   0 ,   0

E o raio é:

r = 20 3

Resposta

O centro da esfera é C = 40 3 , 0,0 e o raio é r = 20 3 .

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