Enunciado

Uma colônia de bactérias cresce a uma razão diretamente proporcional ao número de bactérias presente. (Se chamarmos de B ( t ) a quantidade de bactérias depois de um tempo t , isso significa que d d t B t = k B ( t ) , k constante.) Se o número de bactérias triplica em duas horas, quanto tempo será necessário para que tenhamos cinquenta vezes a quantidade inicial?

Passo 1

Bom, galera, vamos escrever o que ele deu pra gente e tentar ir substituindo as paradas. A colônia cresce a uma razão diretamente proporcional ao número de bactérias presente, então:

d d t B t = k B t

A solução dessa brincadeira é:

B t = c e k t

Sendo o c uma constante.

Passo 2

Vamos ver a quantidade inicial de bactérias, beleza?

B 0 = c e 0 k = c

Então a quantidade inicial de bactérias é justamente a constante que acompanha a exponencial! Vamos usar a informação que ele deu pra gente de que a população triplica em duas horas.

B 2 = 3 B 0 = 3 c

c e 2 k = 3 c

e 2 k = 3

E aí, tirando o logaritmo:

ln ⁡ e 2 k = ln ⁡ 3

Pela regra do peteleco:

2 k l n e = ln ⁡ 3

Como ln ⁡ e = 1 :

k = ln ⁡ 3 2

Passo 3

Beleza, agora vamos ver quanto tempo demora pra população crescer 50 vezes!

B t = c e k t = 50 c

E aí,

e k t = 50

Tirando o logaritmo:

k t = ln ⁡ 50

Substituindo o que encontramos no outro passo:

ln ⁡ 3 2 t = ln ⁡ 50

Então o tempo que a gente tá procurando é:

t = 2 ln ⁡ 50 ln ⁡ 3

Resposta

t = 2 ln ⁡ 50 ln ⁡ 3

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