Enunciado

Completando os quadrados, decida se cada uma das equações abaixo define uma circunferência, um ponto ou o conjunto vazio:

d) 4x² + 4y² − 4x − 8y + 21 = 0.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos completar os quadrados da equação 4 x 2 + 4 y 2 - 4 x - 8 y + 2 1 = 0 .

Para simplificar a equação vamos dividir todos os seus termos por 4, obtendo:

x 2 + y 2 - x - 2 y + 21 4 = 0

Para começar vamos manipular matematicamente os termos que possuem a variável e tentar completar um produto notável do tipo a + b 2 = a 2 + 2 a b + b ² .

Começando com a variável x, queremos completar o trinômio x 2 - x .

Teremos:

a =   1 ; b =   - 1 2

Logo, o quadrado perfeito é:

x - 1 2 2 =   x 2 - x + 1 4

Portanto, o termo que faltava para completar o quadrado é 1 4 .

Iremos somar ele em ambos os lados da equação inicial.

De modo análogo, para a variável y, teremos o trinômio y 2 - 2 y .

Onde:

a =   1 ; b = - 2 2 = - 1

Logo, o quadrado perfeito é:

y - 1 2 =   y 2 - 2 y + 1

Portanto, o termo que faltava para completar o quadrado é 1 .

Iremos somar ele em ambos os lados da equação inicial.

Voltando à nossa equação inicial, teremos:

x 2 + y 2 - x - 2 y + 21 4 = 0

Que pode ser reescrita como:

x 2 - x + y 2 - 2 y = - 21 4

Vamos agora somar os dois valores encontrados para completar os quadrados em ambos os lados da equação.

x 2 - x + 1 4 + y 2 - 2 y + 1 = - 21 4 + 1 4 + 1

Ajustando os quadrados, teremos:

x - 1 2 2 + y - 1 2 = - 4

Como não existe soma de quadrados que resulte em um número negativo não existe um ponto ou conjunto de pontos que satisfaça a equação, logo ela representa um conjunto vazio.

Resposta

Tal equação define um conjunto vazio.

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