Enunciado

Obtenha dos pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétrica

x = 1 - λ y = λ z = 4 + 2 λ

Verifique se os pontos P = ( 1 ,   3 ,   - 3 ) e Q = ( - 3 ,   4 ,   12 ) pertencem à reta.

Passo 1

Para achar dois pontos e dois vetores diretores, vamos reescrever a reta na forma vetorial:

x ,   y ,   z = ( 1 - λ ,   λ ,   4 + 2 λ )

Assim,

x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   4 + ( - λ , λ ,   2 λ )

Portanto,

X = 1 ,   0 ,   4 + λ   ( - 1 ,   1 ,   2 )

Assim, dois vetores diretores são, por exemplo,

u → = - 1 ,   1 ,   2           e           v → = ( 1 ,   - 1 ,   - 2 )

Passo 2

Fazendo λ = 0 , obtemos o ponto

A = ( 1 ,   0 ,   4 )

Já com λ = 1 , obtemos

B = ( 0 ,   1 ,   6 )

Esses dois pontos, assim como muitos outros, estão na reta:

A = 1 ,   0 ,   4         e           B = ( 0 ,   1 ,   6 )

Passo 3

Por fim, vamos verificar se P = ( 1 ,   3 ,   - 3 ) e Q = ( - 3 ,   4 ,   12 ) pertencem à reta. Para isso, temos que achar λ que satisfaça a equação. Primeiro para P :

1 ,   3 ,   - 3 = ( 1 - λ ,   λ ,   4 + 2 λ )

Da primeira equação,

1 - λ = 1 ⇒ λ = 0

Com isso,

λ = 0 ≠ 3             e             4 + 2 λ = 4 ≠ - 3

Esse ponto não pertence à reta. Agora vamos para Q :

- 3 ,   4 ,   12 = ( 1 - λ ,   λ ,   4 + 2 λ )

Assim,

1 - λ - 3 ⇒ λ = 4

Com isso,

λ = 4               e           4 + 2 λ = 12

Esse ponto pertence à reta!

Resposta

u → = - 1 ,   1 ,   2           e           v → = ( 1 ,   - 1 ,   - 2 )

A = 1 ,   0 ,   4         e           B = ( 0 ,   1 ,   6 )

Apenas Q pertence à reta.

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