Enunciado

Dê condições sobre a excentricidade da elipse de equação x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 , para que seus focos pertençam à coroa fundamental.

Passo 1

A coroa fundamental é o conjunto S tal que

S = x , y ∈ R 2 : b 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2

O foco da elipse está localizado em F = c ,   0 .

Passo 2

Assim, segue que

b 2 ≤ c 2 + 0 2 ≤ a 2 ∴ b 2 ≤ c 2 ≤ a 2

Passo 3

Vamos trabalhar com a primeira desigualdade: b 2 ≤ c 2

Lembrando que b 2 = a 2 - c 2 , segue que

b 2 ≤ c 2 ∴ a 2 - c 2 ≤ c 2 ⟹ 2 c 2 ≥ a 2 ∴ 2 c a 2 ≥ 1

2 e 2 ≥ 1 ∴ e ≥ 1 2

Passo 4

A segunda desigualdade nos dá

c 2 ≤ a 2 ⟹ c 2 a 2 ≤ 1 ∴ e 2 ≤ 1

⟹ e ≤ 1

Lembre-se que é impossível ter e = 1 . Logo, devemos ter e < 1 .

Passo 5

Portanto, juntando os Passos 3 e 4, temos:

1 2 ≤ e < 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos:O centro é O , os focos estão em O x , o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8.O centro é O , os focos estão em O y , o eixo maior mede 10, e a d
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Nos casos em que a equação dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo maior e a medida do eixo menor. Faça alguns es
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