Enunciado

Conforme indicado na figura, seja T : R 2 → R 2 o operador linear que reflete cada ponto no eixo y .

  1. Encontre o núcleo de T .
  2. T será injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Belezinha então galerinha, vamos primeiro encontrar a matriz que representa essa reflexão em torno do eixo y , e a partir dela a gente consegue encontrar o núcleo e verificar se é injetora ou não.

Passo 2

Como a transformação é uma reflexão em torno do eixo y , isso quer dizer que tudo que é ortogonal a esse eixo, no caso o eixo x , é refletido, e tudo que está no eixo y permanece intacto. Logo podemos representar essa transformação como T x ,   y = ( - x ,   y ) .

Passo 3

Dado que a transformação é T : R 2 → R 2 vamos ter uma matriz 2 × 2 . E a partir de T x ,   y = ( - x ,   y ) extraímos que

A = - 1 0 0 1

Passo 4

Na letra (a), pediram pra gente encontrar o núcleo de T , que nada mais é do que a solução do sistema A x → = 0 → . Resolvendo para A

A x → = 0 → ⇒ - 1 0 0 1 x y = 0 0

Logo, x = y = 0 , e nosso núcleo é a solução trivial ( 0 ,   0 ) . N u c T = ( 0 ,   0 )

Passo 5

Na letra (b), como temos que n u l T = 0 , nossa matriz vai ser injetora.

Resposta

  1. N u c T = 0 ,   0 .
  2. A é injetora.
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