Enunciado

Provar que o R 2 é isomorfo a qualquer sub-espaço de dimensão 2 do R 3 .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos usar um sub-espaço genérico x , y , z onde z = 0 e que pertence ao R 3 :

W = { x , y , z ∈ R 3 / z = 0 }  

Agora vamos aplicar a transformação linear:

T : R 2 → W

Onde:

T x , y = x , y , 0

Temos que T x , y = x , y , 0 será bijetora, e que R 2 é isomorfo de R 3 .

Resposta

Como cada vetor de R 2 de x , y corresponde a um único de x , y , 0 , temos que T x , y = x , y , 0 será bijetora, sendo assim R 2 é isomorfo de R 3 .

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Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 2 → R 3 , T x , y = ( x - y , 3 x , - 2 y )
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :M ( 2 ,2 ) → R 2 , T a b c d = ( a - c ,b + c )
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 2 → R 2 , T x , y = ( x 2 + y 2 ,x )
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 2 → M 2 ,2 , T x , y = 2 y 3 x - y x + 2 y
Determinar a transformação linear T : P 2 → P 2 tal que T 1 = x , T x = 1 - x 2 e T x 2 = x + 2 x 2 .