Enunciado

Seja F :   R 3 → R 3 definida por F ( 1 ,   0 ,   0 ) = ( 1 ,   1 ,   0 ) e F ( 0,0 ,   1 )   =   ( 0 ,   0 ,   2 ) e F 0 ,   1,0 = ( 1 ,   1 ,   2 ). Determinar uma base de cada um dos seguintes sub-espaços vetoriais: K e r ( F ), I m ( F ) , K e r ( F ) ∩ I m ( F ) e K e r ( F ) + I m ( F ) .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos usar um vetor genérico x , y , z no R 3 . Temos:

F x , y , z

Agora vamos aplicar F ( 1 ,   0 ,   0 ) , F ( 0,0 ,   1 ) e   F 0 ,   1,0 :

F x , y , z = x F 1 ,   0 ,   0 + y F 0,1 , 0 + F ( 0,0 ,   1 )

Substituindo, temos:

F x , y , z = x 1 ,   1 ,   0 + y 1 ,   1,2 + z ( 0 ,   0 ,   2 )

Vamos escrever na forma de matriz porque aí não tem erro:

F x , y , z = x 1 1 0 + y 1 1 2 + z 0 0 2

F x , y , z = 1 1 0 1 1 0 0 2 2 x y z

F x , y , z = x + y , x + y , 2 y + 2 z

Passo 2

Agora vamos determinar a base para K e r F , para isso vamo igualar a zero:

F x , y , z = x + y , x + y , 2 y + 2 z

x + y , x + y , 2 y + 2 z = 0,0 , 0

Vamos montar em forma de sistema:

x + y = 0 x + y = 0 2 y + 2 z = 0

Podemos escolher qualquer equação para começar. Vamos fazer com a primeira:

x + y = 0

Agora isolando y , temos:

y = - x

Substituindo na terceira equação:

2 y + 2 z = 0

2 - x + 2 z = 0

- 2 x + 2 z = 0

Vamos isolar z :

2 z = 2 x

z = x

Temos que a base é:

K e r F = x , - x , x

Colacando x em evidencia:

K e r F = x 1 , - 1,1

Temos:

K e r F = 1 , - 1,1

Temos que a dimensão do núcleo é:

dim ⁡ K e r F = 1

Passo 3

Para determinar I m ( F ) , primeiro vamos fazer descobrir sua dimensão:

dim ⁡ R 3 = d i m ⁡ ( K e r F + d i m ⁡ ( I m F

3 = 1 +   d i m ⁡ ( I m F

d i m ⁡ ( I m F = 2

Como I m F tem dimensão igual a 2 , se usarmos os três vetores para determinar a imagem teremos um conjunto L . D . Bora ver isso?

Vamos usamos o vetor F x , y , z , e reescreve-lo como soma de outros vetores:

x + y , x + y , 2 y + 2 z = x , x , 0 + y , y , 2 y + 0,0 , 2 z

x + y , x + y , 2 y + 2 z = x 1,1 , 0 + y 1,1 , 2 + z 0,0 , 2

Vamos verificar se nossos vetores são L . I :

a 1,1 , 0 + b 1,1 , 2 + c 0,0 , 2 = 0,0 , 0

a , a , 0 + b , b , 2 b + 0,0 , 2 c = 0,0 , 0

Vamos escrever na forma de sistema:

a + b = 0 a + b = 0 2 b + 2 c = 0

Podemos escolher qualquer equação para começar. Vamos fazer com a primeira:

a + b = 0

Agora isolando b , temos:

b = - a

Substituindo na terceira equação:

2 b + 2 c = 0

2 - a + 2 c = 0

- 2 a + 2 c = 0

Vamos isolar c :

2 c = 2 a

c = a

Os três vetores são linearmente dependentes, pois ( a , - a , a ) .

Para que sejam linearmente independentes precisamos excluir o vetor 1,1 , 2 , porque aí não temos o b , e não teremos dependência. Mas, bora conferir isso?

Usando os vetores:

a , a , 0 + 0,0 , 2 c = 0,0 , 0

Vamos escrever na forma de sistema:

a = 0 a = 0 2 c = 0

Então, temos a partir dos vetores a , a , 0   e   0,0 , 2 c que:

I m F = 1,1 , 0 ,   0,0 , 2

Passo 4

K e r F ∩ I m F , I m F = x , x , 0 , 0 , 0 , 2 y e K e r F = 1 , - 1 , 1

Vamos escrever um vetor qualquer a , b , c e ele será formato pelas imagens:

a , b , c = x , x , 0 + 0 , 0 , 2 y

a = x b = x c = 2 y

Então vamos ter:

a , b , c = x , x , 2 y

Agora vamos fazer o produto do vetor que encontramos pelo núcleo que temos e igualamos a zero, aí vamos ter um novo núcleo:

1 , - 1,1 x , x , 2 y = 0

x - x + 2 y = 0

2 y = 0

y = 0

Temos que:

K e r F 1 = x 1 , - 1 , 0

Fazendo a intersecção entre o novo núcleo e o vetor que achamos, temos:

K e r F ∩ I m F = 1 , - 1,0 ∩ 1,1 , 2

K e r F ∩ I m F = 1 , 0 , 0

Passo 5

Fazendo K e r F + I m F teremos a junção dos vetores em um único de vetores. Assim:

K e r F + I m F = 1 , - 1,1 , 1,1 , 0 ,   0,0 , 1

Resposta

K e r F = 1 , - 1,1

I m F = 1,1 , 0 ,   0,0 , 1

K e r F ∩ I m F = 1,0 , 0

K e r F + I m F = 1 , - 1,1 , 1,1 , 0 ,   0,0 , 1

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