Enunciado

  1. Conforme pode ser visto na Figura 3.2.6, os vetores ( k , 0 ,   0 ) , ( 0 ,   k ,   0 ) e ( 0 ,   0 ,   k ) formam as arestas de um cubo em R 3 com diagonal ( k ,   k ,   k ) . Analogamente os vetores ( k ,   0 ,   0 ,   … , 0 ) , 0 ,   k ,   0 ,   … , 0 , ( 0 ,   0 ,   0 ,   … , k ) podem ser considerados arestas de um “cubo” com diagonal k ,   k ,   k , … , k . Mostre que cada uma dessas arestas faz um ângulo θ com a diagonal, sendo cos ⁡ θ = 1 / n .
  2. (Requer Cálculo) O que acontece com o ângulo θ da parte a) quando a dimensão n de R n tende a + ∞ ?

Passo 1

Oieee, como é que tá?

Esse exercício a gente vai fazer algumas manipulações pra provar que a afirmação da questão é verdadeira, então sem mais delongas, bora pra questão.

Passo 2

  1. Se as arestas do cubo em R n são ( k , 0 ,   0 ) , ( 0 ,   k ,   0 ) e ( 0 ,   0 ,   k ) , e a diagonal é k ,   k ,   k , … , k . Então chegamos na conclusão que ‖ u i ‖ = k , u = k n e u i , u = k 2 , sendo assim fica:
  2. cos ⁡ θ = u i , u u i u

    cos ⁡ θ = k 2 k k n

    cos ⁡ θ = 1 n

    Passo 3

  3. À medida que n se aproxima de , 1 n se aproxima de 0, então θ se aproxima de π 2 .

E é isso, Tchauzinho.

Resposta

b) θ se aproxima de π 2 .

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8. Se x ' y ' z ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema do sistema retangulares x y z no sentido anti-horário em torno do eixo z (olhando para baixo no eixo z positivo)
7. Repita o Exercício 6 com θ = π 3 .
10. Repita o Exercício 8 com uma rotação no sentido anti-horário em torno do eixo x (olhando para baixo no eixo x positivo para a origem) pelo ângulo θ = 3 π 4 .
9. Repita o Exercício 8 com uma rotação no sentido anti-horário em torno do eixo y (olhando para baixo no eixo y positivo para a origem) pelo ângulo θ = π 3 .
6. Se x ' y ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema do sistema retangulares x y no sentido anti-horário pelo ângulo θ = 3 π 4 .(a) Encontre as coordenadas x ' y ' do pon