Enunciado

Encontre a matriz de T em relação à base B e use o Teorema 8.5.2 para calcular a matriz de T em relação à base B ' .

T : R 3 → R 3 é a projeção ortogonal no plano x y e B e B ' são as bases no Exercício 4.

Passo 1

Vamos lembrar o Teorema 8.5.2:

Sejam T : V → V um operador linear do espaço vetorial V de dimensão finita e B e B ' bases de V . Então:

T B ' = P - 1 T B P

Sendo P = P B ' → B e P - 1 = P B → B '

Podemos escrever T como:

T x 1 x 2 x 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3

Para obtermos T B , vamos lembrar que B é uma base canônica, assim:

T B = 1 0 0 0 1 0 0 0 0

Passo 2

Como estamos usando as mesmas bases do exercício 4, temos que:

P =   1 1 1 0 1 1 0 0 1

P - 1 = 1 - 1 0 0 1 - 1 0 0 1

Passo 3

Agora, podemos calcular T B ' :

T B ' = 1 - 1 0 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1

T B ' = 1 0 0 0 1 1 0 0 0

Resposta

T B ' = 1 0 0 0 1 1 0 0 0

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