Enunciado

Encontre a matriz de T em relação à base B e use o Teorema 8.5.2 para calcular a matriz de T em relação à base B ' .

T : R 2 → R 2 é a rotação em torno da origem pelo ângulo de 45°; B e B ' são as bases no Exercício 1.

Passo 1

Vamos lembrar o Teorema 8.5.2:

Sejam T : V → V um operador linear do espaço vetorial V de dimensão finita e B e B ' bases de V . Então:

T B ' = P - 1 T B P

Sendo P = P B ' → B e P - 1 = P B → B '

Podemos reescrever T como:

T x 1 x 2 = cos ⁡ θ sin ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ x 1 x 2

Para obtermos T B , vamos encontrar T ( u → 1 ) e T ( u → 2 ) por meio de:

T u → 1 = 2 2 2 2 - 2 2 2 2 1 0 = 2 2 - 2 2

T u → 2 = 2 2 2 2 - 2 2 2 2 0 1 = 2 2 2 2

Assim T B pode ser escrita como:

T B = T u → 1 B T u → 2 B = 2 2 2 2 - 2 2 2 2

Passo 2

Como utiliza as mesmas bases do Exercício 1, temos assim:

P =   2 - 3 1 4

P - 1 = 4 11 3 11 - 1 11 2 11 = 1 11 4 3 - 1 2

Passo 3

Agora, podemos calcular T B ' :

T B ' = 1 11 4 3 - 1 2 2 2 2 2 - 2 2 2 2 2 - 3 1 4

T B ' = 2 22 7 17 - 7 5

Resposta

T B ' = 2 22 7 17 - 7 5

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