Enunciado

7. Repita o Exercício 6 com theta = (pi)/(3) .

Passo 1

(a) Quando temos um sistema de coordenadas retangulares x y , e giramos no sentido anti-horário obtemos um novo sistema de coordenadas x^' y^' .

O novo sistema de coordenadas e o antigo estão relacionados por

[[[x^'],[y^']]] = P^(- 1) [[[x],[y]]]

Onde

P = [[[cos theta,-,sen theta],[sen theta,cos theta]]]

Considerando a definição onde

P^T = P^(- 1)

Temos

P^(- 1) = [[[cos theta,sen theta],[-,sen theta,cos theta]]]

Passo 2

Calculando o sen theta e cos theta

sen (pi)/(3) = (sqrt(3))/(2)

cos (pi)/(3) = (1)/(2)

Passo 3

Retornando para

[[[x^'],[y^']]] = P^(- 1) [[[x],[y]]]

Reescrevendo

[[[x^'],[y^']]] = [[[cos theta,sen theta],[-,sen theta,cos theta]]] * [[[x],[y]]]

Substituindo os valores temos

[[[x^'],[y^']]] = [[[(1)/(2),(sqrt(3))/(2)],[-,(sqrt(3))/(2),(1)/(2)]]] * [[[-,2],[6]]]

Passo 4

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

G = [[[a_11,a_12,a_13],[a_21,a_22,a_23],[a_31,a_32,a_33]]] e H = [[[b_11,b_12,b_13],[b_21,b_22,b_23],[b_31,b_32,b_33]]]

G * H = [[[a_11,a_12,a_13],[a_21,a_22,a_23],[a_31,a_32,a_33]]] * [[[b_11,b_12,b_13],[b_21,b_22,b_23],[b_31,b_32,b_33]]]

= [[[a_11,b_11,+,a_12,b_21,+,a_13,b_31,a_11,b_12,+,a_12,b_22,+,a_13,b_32,a_31,b_11,+,a_32,b_21,+,a_33,b_31],[a_21,b_11,+,a_22,b_21,+,a_23,b_31,a_21,b_12,+,a_22,b_22,+,a_23,b_32,a_31,b_12,+,a_32,b_22,+,a_33,b_32],[a_31,b_11,+,a_32,b_21,+,a_33,b_31,a_31,b_12,+,a_32,b_22,+,a_33,b_32,a_31,b_13,+,a_33,b_23,+,a_33,b_33]]]

Passo 5

Calculando:

[[[x^'],[y^']]] = [[[(1)/(2),(sqrt(3))/(2)],[-,(sqrt(3))/(2),(1)/(2)]]] * [[[-,2],[6]]]

[[[x^'],[y^']]] = [[[(1)/(2),*,(- 2),+,(sqrt(3))/(2),*,6],[-,(sqrt(3))/(2),*,(- 2),+,(1)/(2),*,6]]]

[[[x^'],[y^']]] = [[[-,(2)/(2),+,(6 sqrt(3))/(2)],[(2 sqrt(3))/(2),+,(6)/(2)]]]

Simplificando as frações

[[[x^'],[y^']]] = [[[-,1,+,3,sqrt(3)],[sqrt(3),+,3]]]

Resposta

[[[x^'],[y^']]] = [[[-,1,+,3,sqrt(3)],[sqrt(3),+,3]]]

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