Enunciado

Considerar as bases B = e 1 , e 2 , e 3 e C = g 1 , g 2 , g 3 de R 3 assim relacionadas:

g 1 = e 1 - e 2 - e 3

g 2 = 2 e 2 + 3 e 3

g 3 = 3 e 1 + e 3

  1. Determinar as matrizes de mudança de B para C e de C para B .
  2. Se um vetor u de R 3 apresenta coordenadas 1, 2 e 3, em relação a B , quais as coordenadas de u relativamente a C ?

Passo 1

Vamos começar resolvendo a letra a). Nela, precisamos determinar as matrizes de mudança de base de B para C e de C para B . Com esta informação, vamos calcular a letra b) bem fácil, basta fazermos uma multiplicação de matrizes.

Mas, vamos ao que interessa. Vamos começar determinando a matriz de mudança de B para C

Para isto, vamos ter que fazer o seguinte: vamos escrever o primeiro vetor da base C como combinação linear dos vetores da base B . Assim, teremos:

g 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + a 31 e 3

Só que, no enunciado da questão, vimos que g 1 = e 1 - e 2 - e 3 . Então, se compararmos as incógnitas da nossa matriz, temos a 11 = 1 e a 21 = a 31 = - 1 .

Agora, temos que repetir o mesmo procedimento para os outros dois vetores da base C . Eles serão:

g 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 = 2 e 2 + 3 e 3 g 3 = a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3 = 3 e 1 + e 3

Percebam que no sistema acima já escrevemos os vetores g 2 e g 3 como combinação linear dos vetores de B e comparamos com as informações dadas no enunciado da questão.

Continuando, ao resolvermos o sistema, vamos obter: a 12 = 0 , a 22 = 2 , a 32 = 3 , a 13 = 3 , a 23 = 0 e a 33 = 1 . Portanto, a matriz de mudança de B para C é:

P = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = 1 0 3 - 1 2 0 - 1 3 1

Passo 2

Para finalizarmos a letra a), temos que obter a matriz de mudança de C para B . Para isto, temos duas opções: fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente, escrevendo os vetores de B como combinação linear dos vetores de C , ou, simplesmente, invertendo a matriz P .

E é este último o que vamos fazer. Vamos inverter a matriz P . E para isto, qualquer procedimento é válido! Portanto,

1 0 3 - 1 2 0 - 1 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A ideia é transformar a matriz da esquerda na matriz identidade, enquanto a da direita será a nossa inversa. Vamos começar subtraindo a terceira linha da segunda e depois somar a segunda com a primeira. Portanto,

1 0 3 0 2 3 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 - 1 1

Agora, vamos subtrair a segunda linha de 2 vezes a terceira. Portanto,

1 0 3 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 3 - 2 0 - 1 1

Agora, vamos subtrair a terceira linha da segunda e a primeira linha de 3 vezes a segunda, nesta ordem. Portanto,

1 0 0 0 0 1 0 1 0 - 2 - 9 6 1 3 - 2 - 1 - 4 3

Trocando a terceira linha com a segunda,

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 2 - 9 6 - 1 - 4 3 1 3 - 2

Então, a matriz de mudança de C para B que buscamos é:

P - 1 = - 2 - 9 6 - 1 - 4 3 1 3 - 2

Passo 3

Para finalizarmos a questão, temos que descobrir as coordenadas do vetor u na base C . Para isto, basta lembrarmos da seguinte relação:

Y = P - 1 X

Sendo X a matriz coluna das coordenadas de u na base B e Y as coordenadas de u na base C . Então, temos:

a b c = - 2 - 9 6 - 1 - 4 3 1 3 - 2 1 2 3

a b c = - 2 0 1

Então, as coordenadas de u na base C são - 2 , 0 e 1 .

Resposta

  1. A matriz de mudança de B para C é:
  2. P = 1 0 3 - 1 2 0 - 1 3 1

    Já a matriz de mudança de C para B é:

    P - 1 = - 2 - 9 6 - 1 - 4 3 1 3 - 2

  3. As coordenadas de u na base C são - 2 , 0 e 1 .
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