Enunciado

Considere as bases B = u 1 ,   u 2 ,   u 3 e B ' = u 1 ' ,   u 2 ' ,   u 3 ' de R 3 , em que

u 1 = 2 1 1 ,               u 2 = 2 - 1 1 ,             u 3 = 1 2 1

u 1 ' = 3 1 - 5 ,                   u 2 ' = 1 1 - 3 ,                 u 3 ' = - 1 0 2

a) Encontre a matriz de transição de B para B ' .

b) Calcule o vetor de coordenadas w B , em que

w = - 5 8 - 5

e use (12) para calcular w B ' .

c) Confira seu trabalho calculando w B ' diretamente.

Passo 1

O exercício forneceu duas bases para R 3 e quem que achemos a matriz de transição da base B para a base B ' . Para isso, usamos o método da fórmula (14). Montamos a matriz expandida

b a s e   n o v a     b a s e   v e l h a ] → B '     B ]

Fazendo isso, achamos

3 1 - 1 1 1 0 - 5 - 3 2 2 2 1 1 - 1 2 1 1 1

Agora temos que fazer operações de linha para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. Primeiro vamos inverter a segunda linha com a primeira:

1 1 0 3 1 - 1 - 5 - 3 2 1 - 1 2 2 2 1 1 1 1

Multiplicamos a primeira linha por - 3 e somamos com a segunda. Depois, multiplicamos a primeira linha por 5 e somamos com a terceira:

1 1 0 0 - 2 - 1 0 2 2 1 - 1 2 - 1 5 - 5 6 - 4 1 1

Daí, somamos a segunda linha com a terceira:

1 1 0 0 - 2 - 1 0 0 1 1 - 1 2 - 1 5 - 5 5 1 6

Em seguida, somamos a terceira com a segunda:

1 1 0 0 - 2 0 0 0 1 1 - 1 2 4 6 1 5 1 6

Por fim, multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos com a segunda:

2 0 0 0 - 2 0 0 0 1 6 4 5 4 6 1 5 1 6 → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 5 / 2 - 2 - 3 - 1 / 2 5 1 6

Com isso, achamos

P B → B ' = 3 2 5 / 2 - 2 - 3 - 1 / 2 5 1 6

Passo 2

No item (b), temos o vetor

w = - 5 ,   8 ,   - 5

Queremos escrever ele na base B :

w = - 5 ,   8 ,   - 5 = a u 1 + b u 2 + c u 3

- 5 ,   8 ,   - 5 = a   2 ,   1 ,   1 + b   2 ,   - 1 ,   1 + c   1 ,   2 ,   1

Note que a solução desse sistema é

a = 9 ,         b = - 9         e         c = - 5

Portanto,

w = 9 ,   - 9 ,   - 5 B

Ou ainda,

w B = 9 - 9 - 5

Passo 3

Para achar w B ' , usamos a relação

w B ' = P B → B ' w B

Assim,

w B ' = 3 2 5 / 2 - 2 - 3 - 1 / 2 5 1 6 9 - 9 - 5

Fazendo o produto

w B ' = - 7 / 2 23 / 2 6

Passo 4

A última coisa que temos que fazer é verificar nossa resposta fazendo a conta na raça:

w = - 7 2 , 23 2 , 6 B ' = - 7 2 u 1 ' + 2 3 2 u 2 ' + 6 u 3 '

Logo,

w = - 7 2 3 ,   1 ,   - 5 + 23 2   1 ,   1 ,   - 3 + 6   - 1 ,   0 ,   2

Assim,

w = - 21 2 ,   - 7 2 , 35 2 + 23 2 , 23 2 ,   - 69 2 + - 6 ,   0 ,   12 = - 5 ,   8 ,   - 5

Com isso, verificamos que nossas contas estão corretas!

Resposta

P B → B ' = 3 2 5 / 2 - 2 - 3 - 1 / 2 5 1 6

w B = 9 - 9 - 5

w B ' = - 7 / 2 23 / 2 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T : P 2 → P 2 a transformação linear dada por T p t = t p ' t + p ' ' ( t ) .a) Encontre a matriz A que representa T com relação a B = 1 , t , t 2 .b) Encontre a matriz B que representa T com rel
Considere a reta r : x , y , z = t 1,1 , 0 . Sejam B = E 1 , E 2 , E 3 a base canônica do R 3 e C = U 1 , U 2 , U 3 a base ortonormal de R 3 definida por U 1 = 1 2 1,1 , 1 , U 2 = 0 , 0 , 1 e U 3 = 1
Considere a reta r : x , y , z = t 1,1 , 1 . Sejam B = E 1 , E 2 , E 3 a base canônica do R 3 e C = U 1 , U 2 , U 3 a base ortonormal de R3 definida por U 1 = 1 3 1,1 , 1 , U 2 = 1 2 - 1,1 , 0 e U 3 =
Seja c uma constante diferente de zero. Uma transformação linear T : R 2 → R 2 dada por T x , y = ( c x , y ) , para todo x , y ∈ R 2 é chamada expansão ao longo do eixo x se c1 e contração ao longo d
Seja B = { V 1 , … , V n } uma base de um espaço vetorial V . Seja P uma matriz nxn invertível. Mostre que C = { W 1 , … , W n } é uma base de V , onde W j = ∑ i = 1 n p i j V i , para J = 1 , … , n .