Enunciado

Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de p em relação à base S = p 1 ,   p 2 ,   p 3 de P 2 .

a) p = 4 - 3 x + x 2 ,           p 1 = 1 ,             p 2 = x             e           p 3 = x 2

b) p = 2 - x + x 2 ,           p 1 = 1 + x ,         p 2 = 1 + x 2               e             p 3 = x + x 2

Passo 1

Esse é um exercício sobre mudança de base para polinômios. A base canônica para P 2 é

c a n = 1 ,   x ,   x 2

Observe que no item (a), a base S = p 1 ,   p 2 ,   p 3 é justamente a base canônica! Assim, podemos escrever:

p = 4 ⋅ 1 - 3 ⋅ x + 1 ⋅ x 2

Ou ainda,

p = 4 p 1 - 3 p 2 + p 3

Portanto,

p = 4 ,   - 3 ,   1 S = 4 ,   - 3 ,   1 c a n

Passo 2

No item (b), S não é a base canônica. Queremos achar a matriz P c a n → S . Para isso, escrevemos

p 1 = 1 + x = 1 ,   1 ,   0 c a n

p 2 = 1 + x 2 = 1 ,   0 ,   1 c a n

p 3 = x + x 2 = 0 ,   1 ,   1 c a n

Assim, a matriz P S → c a n é construído com suas colunas sendo esses vetores:

P S → c a n = 1 1 0 1 0 1 0 1 1

Agora temos que inverter essa matriz e vamos usar o método da equação (14):

1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Temos que transformar o lado esquerdo na identidade. Primeiro multiplicamos a primeira linha por - 1 e somamos com a segunda:

1 1 0 0 - 1 1 0 1 1 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

Agora nós somamos a segunda linha com a terceira:

1 1 0 0 - 1 1 0 0 2 1 0 0 - 1 1 0 - 1 1 1 → 1 1 0 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 1 - 1 0 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Note que eu aproveitei para multiplicar a segunda linha por - 1 já. Agora nós somamos a segunda linha com a terceira:

1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Por fim, multiplicamos a segunda linha por - 1 e somamos com a primeira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Assim, achamos

P c a n → S = 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2

Passo 3

Sabemos que na base canônica:

p = 2 - x + x 2 = 2 ,   - 1 ,   1 c a n

Assim,

p S = P c a n → S   p c a n

Portanto,

p S = 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 2 - 1 1 = 0 2 - 1

Com isso, achamos que

p = 0 ,   2 ,   - 1 S

Note que

0 ,   2 ,   - 1 S = 2 p 2 - p 3 = 2 1 + x 2 - x + x 2 = 2 - x + x 2

Resposta

p = 4 ,   - 3 ,   1 S

p = 0 ,   2 ,   - 1 S

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