Enunciado

Repita as partes (a), (c), (d), (e) e (f) do Exercício 18 com a matriz

A = 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1

Passo 1

Vamo começar então pela nossa letra (a). Que diz pra gente encontrar a matriz A elevada ao cubo.

A 3 = A . A . A = 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 ⇒

A 3 =   A 2 . A =   9 0 0 0 - 8 - 6 0 6 - 8 ⏝ A 2 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 ⏝ A =   27 0 0 0 26 - 18 0 18 26

Passo 2

Já na letra (c) vamos ter uma equação envolvendo nossa matriz, essa equação é dada por A 2 - 2 A + I . Aqui a malandragem é a gente descobrir os termos um de cada vez e depois jogar tudo na equação, assim ó:

A 2 = 9 0 0 0 - 8 - 6 0 6 - 8

2 A = 6 0 0 0 - 2 6 0 - 6 - 2

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A 2 - 2 A + I =   9 0 0 0 - 8 - 6 0 6 - 8 - 6 0 0 0 - 2 6 0 - 6 - 2 + 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 4 0 0 0 - 5 - 12 0 12 - 5

Passo 3

A letra (d) também ta afim que a gente resolve o polinômio, p x = x - 2 , onde p A = A - 2 I

A =   3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1

2 I =   2 0 0 0 2 0 0 0 2

A - 2 I =   3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 -   2 0 0 0 2 0 0 0 2 = 1 0 - 1 0 - 3 3 0 - 3 - 3

Passo 4

Iradoso, agora a letra (e) também traz um polinômio, p x = 2 x 2 + x + 1 , onde p A = 2 A 2 + A + I .

2 A 2 = 18 0 0 0 - 16 - 12 0 12 - 16

A =   3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 A 2 + A + I =   18 0 0 0 - 16 - 12 0 12 - 16 +   3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1 +   1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 22 0 0 0 - 16 - 9 0 9 - 16

Passo 5

Pela glória do senhor, chegamos na nossa letra (e), que tem mais um polinômiozinho pra gente resolver, p x = x 3 - 2 x + 4 , onde p A = A 3 - 2 A + 4 I .

A 3 =   27 0 0 0 26 - 18 0 18 26

2 A = 6 0 0 0 - 2 6 0 - 6 - 2

4 I = 4 0 0 0 4 0 0 0 4

A 3 - 2 A + 4 I =   27 0 0 0 26 - 18 0 18 26 - 6 0 0 0 - 2 6 0 - 6 - 2 + 4 0 0 0 4 0 0 0 4 = 25 0 0 0 32 - 24 0 24 32  

Resposta

  1. 27 0 0 0 26 - 18 0 18 26
  2. 4 0 0 0 - 5 - 12 0 12 - 5
  3. 1 0 - 1 0 - 3 3 0 - 3 - 3
  4. 22 0 0 0 - 16 - 9 0 9 - 16
  5. 25 0 0 0 32 - 24 0 24 32    
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz a equação A 3 + 4 A 2 - 2 A + 7 I = 0 Então A T também satisfaz essa equação.
Seja J n a matriz n × n com todas as entradas iguais a 1 . Mostre que se n1 , então I - J n - 1 = I - 1 n - 1 J n
Se as entradas da matriz C = c 11 x c 21 x ⋮ c m 1 xc 12 x c 22 x ⋮ c m 2 x⋯ ⋯ ⋮ ⋯c 1 n x c 2 n x ⋮ c m n x São funções deriváveis de x , então definimos d C d x = c 11 ' x c 21 ' x ⋮ c m 1 ' xc 12 '
Prove: se A for uma matriz m × n e B , a matriz n × 1 com todas as entradas iguais a 1 / n , então A B = r - 1 r - 2 ⋮ r - m Em que r - i é a média das entradas na i - é s i m a é linha de A .
Em cada parte, use a informação na tabela para determinar se o sistema linear A x = b é consistente. Se for, dê o número de parâmetros em sua solução geral.