Enunciado

Considere o polinômio p λ = det ⁡ A - λ I 3 ,   em que A =   a d / 2 e / 2 d / 2 b f / 2 e / 2 f / 2 c . b) Mostre que se p λ tem raízes reais distintas, então sempre existe uma matriz Q tal que Q t A Q =   a ' 0 0 0 b ' 0 0 0 c '   e portanto tal mudança de coordenadas dada por X = Q X ' transforma 7.14 em 7.15 na página 482.

Passo 1

Fala aeee, tudo blz? 😊

Uma quádrica pode ser representada pela equação:

a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y + e x z + f y z + g x + h y + i z + j = 0

Fazendo uma mudança de coordenadas, temos:

x y z = Q x ' y ' z '

Portanto, nossa nova equação da quádrica:

X t A X + K X + j = 0

A =   a d / 2 e / 2 d / 2 b f / 2 e / 2 f / 2 c ,   K =   g h i   e   X =   x y z

Passo 2

Fazendo mais uma mudança de coordenadas:

X = Q X '

Obtemos:

X ' t B X + K ' X ' + j = 0

B =   a ' d ' / 2 e ' / 2 d ' / 2 b ' f ' / 2 e ' / 2 f ' / 2 c ' = Q t A Q

Como a inversa de Q é Q t ,   então I 2 = Q t Q .

Passo 3

Podemos deduzir que:

det ⁡ B - λ I 3 = det ⁡ Q t A Q - λ I 3 = det ⁡ A - λ I 3

Assim, escolhendo Q da forma:

Q : d ' = e ' = f ' = 0

Obtemos:

d e t ( Q t A Q ) =   a ' 0 0 0 b ' 0 0 0 c '

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
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