Enunciado

O método de Gauss para resolução de sistemas é um dos mais adotados quando se faz uso do computador, devido ao menor número de operações que envolve. Ele consiste em se reduzir a matriz ampliada do sistema por linha-equivalência a uma matriz que só é diferente da linha reduzida à forma escada na condição b ) de 2.4 . 1 , que passa a ser: b ' ) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos os elementos abaixo desta linha iguais a zero. As outras condições a , c e d são idênticas. Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solução final do sistema é obtida por substituição.

Exemplo:

2 x 1 + x 2 = 5 x 1 - 3 x 2 = 6

2 1 5 1 - 3 6 ~ 1 1 2 5 2 0 - 7 2 7 2 ~ 1 1 2 5 2 0 1 - 1

a última matriz corresponde ao sistema:

x 1 + 1 2 x 2 = 5 2

x 2 = - 1

Por substituição, x 1 - 12 2 = 5 2 , ou seja, x 1 = 2 .

Resolva pelo método de Gauss os Exercícios 14 , 15 e 16 e compare as respostas.

Passo 1

Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema do Exercício 14 :

1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1 - 1 1         1 0 - 1 4 1 1 - 4 2

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz:

Primeiro fazendo L 2 = - L 1 + L 2 :

1 1 1 0 0 0 1 1 1 - 1 - 1 1         1 0 - 2 4 1 1 - 4 2

Agora L 3 = - L 1 + L 3 :

1 1 1 0 0 0 0 1 0 - 1 - 2 1         1 0 - 2 4 0 1 - 4 2

Aqui vamos fazer L 4 = - L 1 + L 4 :

1 1 1 0 0 0 0 0 0 - 2 - 2 0         1 0 - 2 4 0 0 - 4 2

Vamos trocar de posição a linha 4 com a linha 2 :

1 1 1 0 - 2 0 0 0 0 0 - 2 0         1 0 0 2 0 - 2 - 4 4

Agora L 2 = - 1 2 L 2 :

1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 - 2 0         1 0 0 - 1 0 - 2 - 4 4

Aqui vamos fazer L 3 = - 1 2 L 3 :

1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0         1 0 0 - 1 0 - 2 2 4

Calma, tá acabando, fazendo L 4 = - 1 2 L 4 :

1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0         1 0 0 - 1 0 1 2 - 2

Agora tá simples de acharmos as soluções:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 2 = - 1 x 3 = 2 x 4 = - 2

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 → x 1 = - x 2 - x 3 - x 4 → x 1 = - - 1 - 2 - - 2 = + 1 - 2 + 2 = 1

Passo 2

Agora vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema do Exercício 1 5 :

1 2 3 2 1 3 3 2 1         0 0 0

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz:

Primeiro fazendo L 2 = - 2 L 1 + L 2 :

1 2 3 0 - 3 - 3 3 2 1         0 0 0

Agora fazendo L 3 = - 3 L 1 + L 3 :

1 2 3 0 - 3 - 3 0 - 4 - 8         0 0 0

Aqui vamos fazer L 2 = - 1 3 L 2 :

1 2 3 0 1 1 0 - 4 - 8         0 0 0

Agora L 3 = - 4 L 2 + L 3 :

1 2 3 0 1 1 0 0 - 4         0 0 0

Aqui vamos fazer L 3 = - 1 4 L 3 :

1 2 3 0 1 1 0 0 1         0 0 0

Agora tá simples de acharmos as soluções:

x + 2 y + 3 z = 0 y + z = 0 z = 0

y + z = 0 → y = 0 + 0 = 0

x + 2 y + 3 z = 0 → x = - 2 y - 3 z = 0

Passo 3

Por último vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema do Exercício 1 6 :

3 2 - 4 1 - 1 1 1 3 - 1 - 1 3 1 - 3 - 5 1         1 3 - 3 0 1

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz:

Primeiro fazendo L 1 = 1 3 L 1 :

1 2 3 - 4 3 1 - 1 1 1 3 - 1 - 1 3 1 - 3 - 5 1         1 3 3 - 3 0 1

Agora fazendo L 2 = - L 1 + L 2 :

1 2 3 - 4 3 0 - 5 3 7 3 1 3 - 1 - 1 3 1 - 3 - 5 1         1 3 8 3 - 3 0 1

Aqui vamos fazer L 3 = - L 1 + L 3 :

1 2 3 - 4 3 0 - 5 3 7 3 0 3 - 1 - 5 3 3 1 - 5 3 - 5 1         1 3 8 3 - 10 3 0 1

Agora L 4 = - 2 L 1 + L 4 :

1 2 3 - 4 3 0 - 5 3 7 3 0 0 - 1 - 5 3 1 1 - 5 3 - 1 1         1 3 8 3 - 10 3 - 1 1

Aqui vamos fazer L 5 = L 1 + L 5 :

1 2 3 - 4 3 0 - 5 3 7 3 0 0 0 - 5 3 1 5 3 - 5 3 - 1 - 1 3         1 3 8 3 - 10 3 - 1 4 3

Fazendo L 2 = - 3 5 L 2 :

1 2 3 - 4 3 0 1 - 7 5 0 0 0 - 5 3 1 5 3 - 5 3 - 1 - 1 3         1 3 - 8 5 - 10 3 - 1 4 3

E aqui vamos fazer L 3 = 5 3 L 2 + L 3 :

1 2 3 - 4 3 0 1 - 7 5 0 0 0 0 1 5 3 - 4 - 1 - 1 3         1 3 - 8 5 - 6 - 1 4 3

Vamos fazer L 4 = - L 2 + L 4 :

1 2 3 - 4 3 0 1 - 7 5 0 0 0 0 0 5 3 - 4 2 5 - 1 3         1 3 - 8 5 - 6 3 5 4 3

Aqui vamos fazer L 5 = - 5 3 L 2 + L 5 :

1 2 3 - 4 3 0 1 - 7 5 0 0 0 0 0 0 - 4 2 5 2         1 3 - 8 5 - 6 3 5 4

Calma, tá acabando, fazendo L 3 = - 1 4 L 3 :

1 2 3 - 4 3 0 1 - 7 5 0 0 0 0 0 0 1 2 5 2         1 3 - 8 5 3 2 3 5 4

E aqui vamos fazer L 4 = - 2 5 L 3 + L 4 :

1 2 3 - 4 3 0 1 - 7 5 0 0 0 0 0 0 1 0 2         1 3 - 8 5 3 2 0 4

Pronto, por último vamos fazer L 5 = - 2 L 3 + L 5 :

1 2 3 - 4 3 0 1 - 7 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0         1 3 - 8 5 3 2 0 1

Não tem solução.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Considere as seguintes matrizes:A = - 3 2 1 1 2 - 1 , B = 2 - 1 2 0 0 3 , C = - 2 1 - 1 0 1 1 - 1 0 1 , D = d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3 E 1 = 1 0 0 , E 2 = 0 1 0 , E 3 = 0 0 1 Verifique que:f) Escrevendo
Sejam A e B matrizes mxp e pxn, respectivamente. Mostre que a j-ésima coluna do produto AB é igual ao produto A B j , em que B j = b 1 j ⋮ b p j é a j-ésima coluna de B, ou seja, se B =B 1 … B n , ent
Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ..., E n = 0 0 ⋮ 0 1 matrizes nx1.Mostre que se B =b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 m b 2 m ⋮⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n m é uma matriz nxm, então E t i B é igual à linh
Verifique que A 3 = 0 - , para A =0 1 0 0 0 1 0 0 0 .
Uma matriz A é chamada nilpotente se A k = 0, para algum inteiro positivo k. Verifique que a matriz É nilpotente.