Enunciado

Considere o sistema mecânico mostrado na figura abaixo

Utilizando os procedimentos da secção 7.1.5 estude a vibração do sistema quando ele é tirado da posição de equilíbrio. Resolva completamente descrevendo o comportamento do sistema no caso em que m 1 = 0,5   k g , m 2 = 0,5   k g , k 1 = 1,2 N m , k 2 = 1,8 N m . Os deslocamentos iniciais dos corpos 1 e 2 são, respectivamente, 0,1   m para cima e 0,2   m para baixo.

Passo 1

O problema não falou nada sobre gravidade, então não vamos nos importar com o peso dos blocos.

O primeiro passo é escrever a equação do movimento desses blocos. Seja x 1 e x 2 o deslocamento desses corpos em relação à posição de equilíbrio em um dado instante ambos para baixo. Da física podemos escrever:

m 1 x 1 ¨ = - k 1 x 1 + k 2 ( x 2 - x 1 )

m 2 x 2 ¨ = - k 2 ( x 2 - x 1 )

Depois organizamos as equações para que fiquem no formato requerido pela secção 7.1.5:

x 1 ¨ = k 1 + k 2 m 1 x 1 - k 2 m 1 x 2

x 2 ¨ = - k 2 m 2 x 1 + k 2 m 2 x 2

Podemos reescrever o sistema como:

x 1 ¨ x 2 ¨ = - k 1 + k 2 m 1 k 2 m 1 k 2 m 2 - k 2 m 2 x 1 x 2

Passo 2

Vamos calcular as entradas da matriz dos coeficientes:

- k 1 + k 2 m 1 = - 3 0,5 = - 6

k 2 m 1 = 1,8 0,5 = 3 , 6

k 2 m 2 = 1,8   0,5 = 3 , 6

- k 2 m 2 = - 1,8 0,5 = - 3 , 6

E a matriz fica:

- 6 3 , 6 3 , 6 - 3 , 6

Passo 3

Devemos diagonalizar a matriz. Realizando a diagonalização, temos:

- 6 10 - 24 5 0 0 6 10 - 24 5

Utilizando os resultados da seção 7.1.5, temos:

X 1 ¨ X 2 ¨ = - 6 10 - 24 5 0 0 6 10 - 24 5 X 1 X 2

Onde X 1 ¨ X 2 ¨ e X 1 X 2 estão na base dos autovetores.

Passo 4

Esse sistema gera as equações:

X 1 ¨ = - 6 10 - 24 5 X 1

X 2 ¨ = 6 10 - 24 5 X 2

Como λ 1 = - 6 10 - 24 5 e λ 2 = 6 10 - 24 5 são ambos negativos, as soluções dessas EDO’s são:

X 1 = A 1 s e n ( - λ 1 t + θ 1 )

X 2 = A 2 s e n ( - λ 2 t + θ 2 )

Seja P a matriz de mudança de base da base dos autovetores para a canônica, temos que:

x 1 x 2 = - 10 - 1 3 10 - 1 3 1 1 X 1 X 2

Logo:

x 1 = - 10 - 1 3 A 1 s e n - λ 1 t + θ 1 + 10 - 1 3 A 2 s e n ( - λ 2 t + θ 2 )

x 2 = A 1 s e n - λ 1 t + θ 1 + A 2 s e n ( - λ 2 t + θ 2 )

Passo 5

Para encontrar as constantes A 1 ,   A 2 ,   θ 1   e   θ 2 basta usarmos as condições de contorno:

  1. x 1   i n i c i a l = 0,1 m e x 1 ˙ i n i c i a l = 0 ;
  2. x 2   i n i c i a l = - 0,2 m e x 2 ˙ i n i c i a l = 0 .

Substituindo nas equações encontradas acima chega-se à resposta.

Resposta

Demonstração.

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