Enunciado

6. Sejam T : R 3 → R 3 linear, α = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 , a base canônica de R 3 , β = 0,1 , 1 , 0 , - 1,1 , 1,0 , 1 e

T α α = 2 0 1 0 - 3 1 0 0 - 3

  1. Encontre o polinômio característico de T , os autovalores de T e os autovetores correspondentes.
  2. Ache T β β e o polinômio característico. Que observação você faz a este respeito?
  3. Encontre a base γ de R 3 , se for possível, tal que T γ γ seja diagonal.

Passo 1

Opaaa... vamos pra mais uma questãozinha???

Nessa aqui vamos usar a equação pra achar o polinômio característico:

P λ = det ⁡ A - λ I

E pra achar os autovalores:

P λ = 0

E os autovetores:

A x = λ x

E também vamos precisar a relação pra mudança de base:

T α α = P T β β P - 1

Então:

T β β = P - 1 T α α P

Passo 2

  1. Pra encontrar o polinômio característico a gente resolve o determinante:
  2. P λ = det ⁡ T α α - λ I

    Mas:

    T α α - λ I = 2 0 1 0 - 3 1 0 0 - 3 - λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

    T α α - λ I = 2 - λ 0 1 0 - 3 - λ 1 0 0 - 3 - λ

    Daí a gente volta pro determinantes:

    P λ = det ⁡ 2 - λ 0 1 0 - 3 - λ 1 0 0 - 3 - λ

    E lembrando que o determinante de uma matriz triangular é só multiplicar os elementros da diagonal principal:

    P λ = 2 - λ - 3 - λ - 3 - λ

    Pra achar os autovalores fazemos:

    P λ = 0

    2 - λ - 3 - λ - 3 - λ = 0

    Então ficamos com os seguintes autovalores:

    λ = 2 ou λ = - 3

    E os autovetores:

    - pra λ = 2 :

    2 0 1 0 - 3 1 0 0 - 3 x y z = 2 x y z

    2 x + 0 y + 1 z = 2 x 0 x - 3 y + 1 z = 2 y 0 x + 0 y - 3 z = 2 z

    v 1 = x , 0,0

    - pra λ = - 3 :

    2 0 1 0 - 3 1 0 0 - 3 x y z = - 3 x y z

    2 x + 0 y + 1 z = - 3 x 0 x - 3 y + 1 z = - 3 y 0 x + 0 y - 3 z = - 3 z

    v 2 = 0 , y , 0

    Passo 3

  3. Vamos começar expressando a nossa base como combinação da base canônica:
  4. - pro primeiro vetor, 0,1 , 1 :

    0,1 , 1 = a 1 1,0 , 0 + b 1 0,1 , 0 + c 1 0,0 , 1

    Fazendo o sisteminha:

    0 = a 1 + 0 b 1 + 0 c 1 1 = 0 a 1 + b 1 + 0 c 1 1 = 0 a 1 + 0 b 1 + c 1

    Resolvendo:

    a 1 = 0

    b 1 = 1

    c 1 = 1

    Então ficamos com o vetor: 0 1 1

    - pro vetor 0 , - 1,1 ficamos com: 0 - 1 1

    - e pro vetor 1,0 , 1 ficamso com: 1 0 1

    Ficamos com a matriz:

    P = 0 0 1 1 - 1 0 1 1 1

    Calculando a inversa:

    P - 1 = - 1 2 1 2 1 2 - 1 2 - 1 2 1 2 1 0 0

    Então vamos precisar achar a matriz:

    T β β = a b c x y z u v z

    Tal que:

    T β β = P - 1 T α α P

    a b c x y z u v z = - 1 2 1 2 1 2 - 1 2 - 1 2 1 2 1 0 0 2 0 1 0 - 3 1 0 0 - 3 0 0 1 1 - 1 0 1 1 1

    Vamos fazer esse vucovuco de multiplicação de matriz aos pouquinhos:

    - fazendo primeiro:

    - 1 2 1 2 1 2 - 1 2 - 1 2 1 2 1 0 0 2 0 1 0 - 3 1 0 0 - 3 = - 1 - 3 2 - 3 2 - 1 3 2 - 5 2 2 0 1

    - e agora fazemos:

    - 1 - 3 2 - 3 2 - 1 3 2 - 5 2 2 0 1 0 0 1 1 - 1 0 1 1 1 = - 3 0 - 5 2 - 1 - 4 - 7 2 1 1 3

    Então:

    T β β = - 3 0 - 5 2 - 1 - 4 - 7 2 1 1 3

    E pra achar o polinômio característico:

    P λ = det ⁡ T β β - λ I

    P λ = det ⁡ - 3 - λ 0 - 5 2 - 1 - 4 - λ - 7 2 1 1 3 - λ

    P λ = - 3 - λ - 4 - λ 3 - λ + - 5 2 - 1 1

    - 1 - 4 - λ - 5 2 - 1 - 7 2 - 3 - λ

    P λ = - 3 - λ - 4 - λ 3 - λ + 5 2 + 5 2 - 4 - λ + 7 2 - 3 - λ

    Esse já é o resultado, até, mas vamos dar uma mexidinha pra ver um negócio interessante:

    P λ = - 3 - λ - 4 - λ 3 - λ + 5 2 1 + - 4 - λ + 7 2 - 3 - λ

    P λ = - 3 - λ - 4 - λ 3 - λ + 5 2 - 3 - λ + 7 2 - 3 - λ

    P λ = - 3 - λ - 4 - λ 3 - λ + - 3 - λ 5 2 + 7 2

    P λ = - 3 - λ - 4 - λ 3 - λ + - 3 - λ 6

    P λ = - 3 - λ - 4 - λ 3 - λ + 6

    P λ = - 3 - λ - 12 + 4 λ - 3 λ + λ 2 + 6

    P λ = - 3 - λ λ 2 + λ - 6

    E vem mais magicazinha: ( λ = 3 λ - 2 λ )

    P λ = - 3 - λ λ 2 + 3 λ - 2 λ - 6

    P λ = - 3 - λ λ λ + 3 - 2 λ + 3

    P λ = - 3 - λ λ + 3 λ - 2

    Que é a mesma coisa que:

    P λ = - 3 - λ - λ - 3 λ - 2

    Hujmmmmmmm.... é igualzinho ao de lá de cima... ou seja... o polinômio característico (e também os autovalores, né... ) independem da base.

    Passo 4

  5. Como lá no item a) a gente só achou dois autovetores LI para T , então não existe uma base em R 3 constituida apenas por autovetores. Então T não é diagonalizável.

Então não existe base γ .

Resposta

a) P λ = 2 - λ - 3 - λ - 3 - λ

λ = 2 ou λ = - 3

v 1 = x , 0,0

v 2 = 0 , y , 0

b) T β β = - 3 0 - 5 2 - 1 - 4 - 7 2 1 1 3

P λ = 2 - λ - 3 - λ - 3 - λ

c) Não existe.

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