Enunciado

26 Considere os sistemas lineares

(a) Encontre uma solução geral do sistema homogêneo.

(b) Confirme que x1=1, x2=1, x3=1 é uma solução do sistema não homogêneo.

(c) Use os resultados das partes (a) e (b) para encontrar uma solução geral do sistema não homogêneo.

(d) Confira sua resposta na parte (c) resolvendo diretamente o sistema não homogêneo.

Passo 1

a)

O sistema linear homogêneo é o seguinte:

1 - 2 3 2 1 4 1 - 7 5 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Vamos usar escalonar a matriz. Somando - 2 vezes a primeira equação na segunda:

1 - 2 3 0 5 - 2 1 - 7 5 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Somando - 1 vez a primera equação na terceira:

1 - 2 3 0 5 - 2 0 - 5 2 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Somando a segunda equação na terceira:

1 - 2 3 0 5 - 2 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Escrevendo esse sistema na forma de equções:

x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 0 5 x 2 - 2 x 3 = 0

Como temos duas equação e três incógnitas vamos precisar de uma variável livre. Vamos definir:

x 3 = a

então

5 x 2 - 2 a = 0

x 2 = 2 5 a

Substituindo na primeira equação:

x 1 - 2 2 5 a + 3 a = 0

x 1 - 4 5 a + 3 a = 0

x 1 = - 11 5 a

Então a solução geral do sistema fica dessa forma:

w = - 11 5 a , 2 5 a ,   a

Passo 2

b)

Vamos testar essa solução, 1 ,   1 , 1 , para o sistema não homogêneo. Primeiro vamos escrever esse sistema na forma de equações.

1 - 2 3 2 1 4 1 - 7 5 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 2 7 - 1

x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 2 2 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 7 x 1 - 7 x 2 + 5 x 3 = - 1

Testando para a primeira equação:

x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 1 - 2 1 + 3 1

x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 1 - 2 + 3

x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 2

Deu certo. Agora para a segunda:

2 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 2 1 + 1 + 4 1

2 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 2 + 1 + 4

2 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 7

Também deu certo. E por ultimo, para aterceira equação:

x 1 - 7 x 2 + 5 x 3 = 1 - 7 1 + 5 1

x 1 - 7 x 2 + 5 x 3 = 1 - 7 + 5

x 1 - 7 x 2 + 5 x 3 = - 1

E deu certo tabém para essa equação. Ou seja essa é uma solução do sistema não homogêneo:

x 0 = 1 ,   1 ,   1

Passo 3

c)

Usando o teorema 3.4.4 sabemos que a solução geral de um sistema não homogêneo pode ser obtida somando uma solução especifica qualquer do sistema não homogêneo com a solução geral do sistema homogêneo. Isso quer dizer que precisamos somar as soluções encontradas nas letras (a) e (b):

x = w + x 0

x = - 11 5 a , 2 5 a ,   a + 1 ,   1 ,   1

x = - 11 5 a + 1 , 2 5 a + 1 ,   a + 1

E é só isso ai.

Passo 4

d)

Vamos testar essa solução, - 11 5 a + 1 , 2 5 a + 1 ,   a + 1 , para o sistema não homogêneo:

x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 2 2 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 7 x 1 - 7 x 2 + 5 x 3 = - 1

Testando para a primeira equação:

x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = - 11 5 a + 1 - 2 2 5 a + 1 + 3 a + 1

x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = - 1 1 5 a + 1 - 4 5 a - 2 + 3 a + 3

x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 2

Deu certo. Agora para a segunda:

2 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 2 - 11 5 a + 1 + 2 5 a + 1 + 4 a + 1

2 x 1 + x 2 + 4 x 3 = - 2 2 5 a + 2 + 2 5 a + 1 + 4 a + 4

2 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 7

Também deu certo. E por ultimo, para aterceira equação:

x 1 - 7 x 2 + 5 x 3 = - 11 5 a + 1 - 7 2 5 a + 1 + 5 a + 1

x 1 - 7 x 2 + 5 x 3 = - 1 1 5 a + 1 - 14 5 a - 7 + 5 a + 5

x 1 - 7 x 2 + 5 x 3 = - 1

E deu certo tabém para essa equação. Ou seja, essa realmente é a solução geral do sistema não homogêneo:

x = - 11 5 a + 1 , 2 5 a + 1 ,   a + 1

Resposta

a)

w = - 11 5 a , 2 5 a ,   a

c)

x = - 11 5 a + 1 , 2 5 a + 1 ,   a + 1

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