Enunciado

Consideremos a seguinte base do R 3 :

B = 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   ( 0 ,   1 ,   2 )

Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

Passo 1

Bora lá, aqui é aplicação do processo, bem direta! O primeiro vetor da base ortonormalizada é o primeiro vetor dividido pelo módulo dele. No caso aqui, o módulo do primeiro vetor é 1 , então não vai fazer diferença dividir:

w 1 = v 1 v 1 = ( 1 ,   0 ,   0 ) 1 = ( 1 ,   0 ,   0 )

Passo 2

O próximo vetor vai ser:

v 2 = x 2 - x 2 ⋅ v 1 v 1 v 1 2

v 2 = 0 ,   1 ,   1 - 0 ,   1 ,   1 ⋅ 1 ,   0 ,   0 1 ,   0 ,   0 1 2

v 2 = 0 ,   1 ,   1 - 0 1 ( 1 ,   0 ,   0 )

v 2 = 0 ,   1 ,   1

E dividindo pelo módulo:

w 2 = v 2 v 2 = ( 0 ,   1 ,   1 ) 1 2 + 1 2

w 2 = 0 , 1 2 , 1 2

Passo 3

Falta só mais um vetor:

v 3 = x 3 - x 3 ⋅ v 2 v 2 v 2 2

v 3 = 0 ,   1 ,   2 - 0 ,   1 ,   2 ⋅ 0 ,   1 ,   1 0 ,   1 ,   1 1 2 + 1 2

v 3 = 0 ,   1 ,   2 - 3 2 0 ,   1 ,   1

v 3 = 0 ,   1 ,   2 - 0 , 3 2 , 3 2

v 3 = 0 ,   - 1 2 , 1 2

E dividindo pelo módulo:

w 3 = v 3 v 3 = 0 ,   - 1 2 , 1 2 - 1 2 2 + 1 2 2

w 3 = 0 ,   - 1 2 , 1 2 1 2

w 3 = 0 ,   - 2 2 , 2 2

A nossa base ortonormal é então:

w 1 , w 2 , w 3 = 1 ,   0 ,   0 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 ,   - 2 2 , 2 2    

Resposta

w 1 , w 2 , w 3 = 1 ,   0 ,   0 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 ,   - 2 2 , 2 2    

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