Enunciado

Seja T o operador linear no R 3 tal que T 1 ,   0 ,   0 = 0 ,   2 ,   0 , T 0 ,   1 ,   0 = ( 0 ,   0 ,   - 2 ) e T 0 ,   0 ,   1 = ( - 1 ,   0 ,   3 ) . Determinrar T x , y , z e o vetor v ∈ R 3 tal que T v = ( 5 ,   4 ,   - 9 ) .

Passo 1

A questão fornece uma transformação linear tal que T 1 ,   0 ,   0 = 0 ,   2 ,   0 , T 0 ,   1 ,   0 = ( 0 ,   0 ,   - 2 ) e T 0 ,   0 ,   1 = ( - 1 ,   0 ,   3 ) . Devemos achar uma expressão para T ( x , y , z ) . Para isso, escrevemos

T x , y , z = x   T 1 ,   0 ,   0 + y   T 0 ,   1 ,   0 + z   T ( 0 ,   0 ,   1 )

Portanto,

T x ,   y ,   z = x   0 ,   2 ,   0 + y   0 ,   0 ,   - 2 + z   ( - 1 ,   0 ,   3 )

Logo,

T x , y , z = ( - z ,   2 x ,   - 2 y + 3 z )

Passo 2

Queremos achar v tal que T v = ( 5 ,   4 ,   - 9 ) . Assim,

- z ,   2 x ,   - 2 y + 3 z = ( 5 ,   4 ,   - 9 )

De cara tiramos que

- z = 5 ⇒ z = - 5

2 x = 4 ⇒ x = 2

Portanto, na última equação:

- 2 y + 3 ⋅ - 5 = - 9 ⇒ - 2 y - 15 = - 9 ⇒ 2 y = 9 - 15 = - 6 ⇒ y = - 3

Logo,

v = ( 2 ,   - 3 ,   - 5 )

Resposta

T x , y , z = ( - z ,   2 x ,   - 2 y + 3 z )

v = ( 2 ,   - 3 ,   - 5 )

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