Enunciado

Consideremos a seguinte base do R 2 :

B = 3 ,   4 ,   1 ,   2

Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

Passo 1

Bora lá, esse processo de Gram-Schmidt é assim: o primeiro vetor da base vai ser ele dividido pelo seu módulo.

v 1 = x 1 = 3 ,   4

O módulo dele é:

v 1 = 3 2 + 4 2 = 5

w 1 = v 1 v 1

w 1 = 3 ,   4 5

w 1 = 3 5 , 4 5

Passo 2

Agora pro próximo vetor, vamos ter:

v 2 = x 2 - x 2 ⋅ v 1 v 1 v 1 2

v 2 = 1 ,   2 - 1,2 ⋅ 3 ,   4 3 ,   4 25

v 2 = 1 ,   2 - 11 3 5 , 4 5

v 2 = 1 ,   2 - 33 2 5 , 44 2 5

v 2 = - 8 25 , 6 25

E aí a gente divide o vetor v pelo módulo dele:

v 2 = - 8 25 2 + 6 25 2

v 2 = 2 5

w 2 = - 8 25 , 6 25 2 5

w 2 = - 4 5 , 3 5

Passo 3

Fechou! Nossa base é:

3 5 , 4 5 , - 4 5 , 3 5  

Resposta

3 5 , 4 5 , - 4 5 , 3 5  

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2. Quais dos conjuntos de vetores do exercício 1 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R 2 ?
5. Em cada parte, decida se o conjunto de polinômios dado é ortogonal em relação ao produto interno de P 2 discutido no Exemplo 7 da Seção 6.1.(a) p → 1 x = 2 3 - 2 3 x + 1 3 x 2 ,p → 2 x = 2 3 + 1 3
4. Quais dos conjuntos de vetores do Exercício 3 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R 3 ?
1. Em cada parte, decida se o conjunto de vetores dado é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R 2 .(a) 0,1 , 2,0 (b) - 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 (c) - 1 2 , - 1 2 , 1 2 , 1 2 (d) 0,0 , 0,
3. Em cada parte, decida se o conjunto de vetores dado é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R 3 .(a) 1 2 , 0 , 1 2 , 1 3 . 1 3 , - 1 3 ,- 1 2 , 0 , 1 2 (b) 2 3 , - 2 3 , 1 3 , 2 3 ,