Enunciado

5. Em cada parte, decida se o conjunto de polinômios dado é ortogonal em relação ao produto interno de P 2 discutido no Exemplo 7 da Seção 6.1.

(a) p → 1 x = 2 3 - 2 3 x + 1 3 x 2 ,   p → 2 x = 2 3 + 1 3 x - 2 3 x 2 ,   p → 3 x = 1 3 + 2 3 x + 2 3 x 2

(b) p → 1 x = 1 ,   p → 2 x = 1 2 x + 1 2 x 2 ,   p → 3 x = x 2

Passo 1

O produto interno, nesse caso, é:

p → 1 ⋅ p → 2 = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2

E pra ser ortogonal:

p → 1 ⋅ p → 2 = 0

p → 1 ⋅ p → 3 = 0

p → 2 ⋅ p → 3 = 0

Passo 2

(a) Fazendo o produto interno:

p → 1 ⋅ p → 2 = 2 3 2 3 + - 2 3 1 3 + 1 3 - 2 3

p → 1 ⋅ p → 2 = 0

p → 1 ⋅ p → 3 = 2 3 1 3 + - 2 3 2 3 + 1 3 2 3

p → 1 ⋅ p → 3 = 0

p → 2 ⋅ p → 3 = 2 3 1 3 + 1 3 2 3 + - 2 3 2 3

p → 2 ⋅ p → 3 = 0

Então é ortogonal.

Passo 3

(b)   p → 1 x = 1 ,   p → 2 x = 1 2 x + 1 2 x 2 ,   p → 3 x = x 2 Fazendo o produto interno:

p → 1 ⋅ p → 2 = 1 0 + 0 1 2 + 0 1 2

p → 1 ⋅ p → 2 = 0

p → 1 ⋅ p → 3 = 1 0 + 0 0 + 0 1

p → 1 ⋅ p → 3 = 0

p → 2 ⋅ p → 3 = 0 0 + 1 2 0 + 1 2 1

p → 2 ⋅ p → 3 = 1 2

Então não é ortogonal.

Resposta

(a) Sim

(b) Não

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
2. Quais dos conjuntos de vetores do exercício 1 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R 2 ?
4. Quais dos conjuntos de vetores do Exercício 3 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R 3 ?