Enunciado

Consideremos o seguinte produto interno no R 2 :

x 1 ,   y 1 ⋅ x 2 ,   y 2 = x 1 x 2 + 2 x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 + 5 y 1 y 2

Mostrar que, relativamente a esse produto interno, o conjunto A = { 1 ,   0 ,   2 ,   - 1 } é base ortonormal do R 2 .

Passo 1

Bom, se a base é ortonormal, ela atende duas condições: o módulo de todos os vetores é unitário, e todos os vetores são ortogonais entre si, ou seja, v i ⋅ v j = 0 , se i ≠ j , e v i ⋅ v i = 1 . Vamos testar essas paradas aí!

Passo 2

Primeiro vamos ver o produto interno de ( 1 ,   0 ) e ( 2 ,   - 1 ) usando a definição que ele deu:

1 ,   0 ⋅ 2 ,   - 1 = 1 2 + 2 1 - 1 + 2 2 0 + 5 0 - 1

1 ,   0 ⋅ 2 ,   - 1 = 0

Beleza, isso quer dizer que os dois são ortogonais. Agora vamos testar a outra propriedade.

Passo 3

Primeiro para ( 1 ,   0 ) :

1 ,   0 ⋅ 1 ,   0 = 1 1 + 2 1 0 + 2 1 0 + 5 0 0

1 ,   0 ⋅ 1 ,   0 = 1

Como a gente queria! Vamos ver o outro vetor agora:

2 ,   - 1 ⋅ 2 ,   - 1 = 2 2 + 2 2 - 1 + 2 2 - 1 + 5 - 1 - 1

2 , - 1 ⋅ 2 ,   - 1 = 4 - 4 - 4 + 5

2 ,   - 1 ⋅ 2 ,   - 1 = 1

Também bateu! Então show, se o conjunto atende a todas as propriedades, ele é uma base ortonormal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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2. (a) Mostre que a matriz A = 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 - 2 3 - 1 3 2 3 é ortogonal.(b) Seja T : R 3 → R 3 a multiplicação pela matriz A da parte ( a ) . Encontre T ( x ) com o vetor x = - 2 , 3 , 5
3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 2
5. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Seçao 4.9 são orgtonais.
3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 2
5. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Seçao 4.9 são orgtonais.