Enunciado

Consideremos as seguintes bases do R 3 :

A = 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1     e       B = { 1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 , - 1 ,   - 1 ,   1 ,   1 }

a) Determinar a matriz I B A .

b) Utilizar a matriz obtida no item (a) para calcular v B , sendo v A = ( 1 ,   2 ,   3 ) .

c) Determinar a matriz I A B .

Passo 1

A questão fornece duas bases A e B do R 3 e pede para estudarmos as matrizes de mudança de base. Para isso, você deve lembrar que as colunas da matriz I B A são os vetores da base A escritos na base B .

Neste caso, a base A é a canônica, de modo que é mais fácil construtir I A B . Por isso começarei pelo item (c).

Como a base A é canônica, os vetores de B escritos na base A não sofrem alteração: basta coloca-los nas colunas da matriz.

I A B = 1 0 - 1 0 1 1 - 1 - 1 1

Para achar I B A , basta inveter essa matriz.

Passo 2

Para inverter a matriz, vamos usar o método da matriz expandida:

1 0 - 1 0 1 1 - 1 - 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Somando a terceira linha com a primeira:

1 0 - 1 0 1 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1

Somando a terceira linha com a terceira:

1 0 - 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1

Multiplicando a segunda linha por - 1 e somando com a terceira:

1 0 - 1 0 - 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 ⇒ 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 0 - 1 1 1 1

Por fim, somando a primeira linha com a terceira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 - 1 0 - 1 1 1 1

Assim, temos que

I B A = 2 1 1 - 1 0 - 1 1 1 1

Passo 3

Por fim, queremos escrever o vetor v A = ( 1 ,   2 ,   3 ) na base B :

v B = I B A   v A

Portanto,

2 1 1 - 1 0 - 1 1 1 1 ⋅ 1 2 3 = 7 - 4 6

Logo,

v B = ( 7 , - 4 ,   6 )

Resposta

I B A = 2 1 1 - 1 0 - 1 1 1 1

v B = ( 7 , - 4 ,   6 )

I A B = 1 0 - 1 0 1 1 - 1 - 1 1

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