Enunciado

Seja o operador linear T :   R 2 → R 2 , T x , y = ( x + y , x - y ) .

a) Determinar T B , sendo B = { 1 ,   2 ,   0 , - 1 } .

b) Utilizar a matriz encontrada em (a) para calcular T v B sabendo que v = ( 4 ,   2 ) .

Passo 1

O problema fornece uma transformação linear e pede para escrever a matriz de transformação na base B . Para isso, precisamos calcular a transformação nos vetores da base B :

T 1 ,   2 = ( 3 ,   - 1 )

T 0 , - 1 = ( - 1 ,   1 )

Esses vetores estão na base canônica, precisamos convertê-los para a base B . Para isso, basta usar a matriz de mudança de base de B para A , onde A é a base canônica:

I A B = 1 0 2 - 1

Essa matriz é construída escrevendo os vetores de B na base A . Invertendo essa matriz, obtemos:

I B A = 1 0 2 - 1

Passo 2

Agora temos que escrever ( 3 , - 1 ) e ( - 1 ,   1 ) na base B . Para isso, lembre-se que

v B = I B A   v A

Assim,

1 0 2 - 1 ⋅ 3 - 1 = 3 7

Portanto,

T 1 ,   2 = 3 ,   7 B

Analogamente,

1 0 2 - 1 ⋅ - 1 1 = - 1 - 3

Logo,

T 0 , - 1 = - 1 , - 3 B

Desta forma, a matriz de mudança de base será

T B = 3 - 1 7 - 3

Passo 3

Agora queremos achar T v B onde v = ( 4 ,   2 ) . Primeiro vamos escrever v na base B :

1 0 2 - 1 ⋅ 4 2 = 4 6

Assim,

v B = 4 ,   6 B

Aplicando o operador T :

3 - 1 7 - 3 ⋅ 4 6 = 6 10

Portanto,

T v B = ( 6 ,   10 )

Resposta

T B = 3 - 1 7 - 3

T v B = ( 6 ,   10 )

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